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《排列数公式》同步学案

问题情境导入

7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?这需要我们研究排列问题.

新课自主学习

自学导引

1.排列数公式:=______(m≤n,且m,n∈N+).

2.______,记作n!,读作:n的阶乘.

规定:______,0!=______.

答案

1.n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]

2.n(n-1)(n-2)·…·2·111

预习测评

1.某电影要在5所大学里轮流放映,则不同的轮流放映方法有()

A.25种

B.55种

C.种

D.53种

2.乘积5×6×7×…×20等于()

A.

B.

C.

D.

3.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课,其中体育不排在第一节,那么这天上午课程表的不同排法共有()

A.6种

B.9种

C.18种

D.24种

4.从2,4中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()

A.6

B.12

C.18

D.24

5.计算:=______.

答案

1.

答案:C

解析:不同的轮流放映方法相当于将5所大学进行全排列,即种.

2.

答案:B

解析:由于乘积5×6×7×…×20表示的是从20到5的连续16个自然数的乘积,则可知表示的为.

3.

答案:C

解析:先排体育有种方法,再排其他的三科有种方法,则不同排法共有种.

4.

答案:D

解析:先从2,4中选一个数字,有2种选法;再从1,3,5中选两个数字并排列,有种选法;最后将从2,4中选出的一个数字放在十位或百位的位置,有2种放法.综上所述,奇数的个数为.

5.

答案:40

解析:.

新知合作探究

探究点1排列数公式

知识详解

排列数公式:.

(1)公式特征:第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是n-(m-1),共有m个因数;

(2)全排列:当m=n时,即n个不同元素全部取出的一个排列.

全排列数:,记作n!,读作:n的阶乘.

规定:.

特别提示

1..该公式适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等.

2.排列数公式适用于m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.

典例探究

例1计算:.

解析可直接运用排列数公式计算,也可采用阶乘式计算.

答案方法一:.

方法二:.

变式训练1证明:.

答案因为

=

=

=,

所以.

解析首先分析各项的关系,利用进行变形推导.

探究点2无限制条件的简单排列问题

知识详解

对于无限制条件的简单排列问题,可以直接看作摸球模型,即从n个不同的球中取出m个球的方法数.关键是将具体问题中的元素抽象化.

典例探究

例2将5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,则不同的分配方法有______种.

解析将问题抽象为5个球放入5个盒子中,利用排列的概念可知不同的分配方法有种.

答案120

变式训练2某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言,那么全班共写了______条毕业留言.

答案1560

解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了40×39=1560条毕业留言.

探究点3两个计数原理与排列问题综合

知识详解

对于比较复杂的排列问题,可以利用分类加法计数原理或者分步乘法计数原理将所求的排列问题分类或者分步,然后每一类或每一步再利用排列数公式求解,最后利用分类加法计数原理或者分步乘法计数原理求出总数.

典例探究

例3六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()

A.192种

B.216种

C.240种

D.288种

解析第一类:甲在最左端,有5×4×3×2×1=120种排法;

第二类:乙在最左端,甲不在最右端,有=4×4×3×2×1=96种排法.

所以不同的排法共有120+96=216种.

答案B

变式训练3用数字0,1,2,3,4组成的五位数中,中间三位数字各不相同,但首末两位数字相同的共有______个.

答案240

易错易混解读

例1四名运动员参加4×100接力赛,根据平时队员训练的成绩,甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,则不同的出场顺序共有()

A.12种

B.14种

C.16种

D.24种

错解若不考虑限制条件,四名运动员全排列共有=24种排法,甲跑第一棒有种排法,乙跑第四棒有种排法,故共有种不同的出场顺序.故选A.

错因分析错解中排除甲跑第一棒和乙跑第四棒,两次都减去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况,从而导致了错误.

正解若不考