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高中数学精编资源
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《排列与排列数》同步学案
问题情境导入
从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法？你能解答这个问题吗？这节课我们就来研究这类关于有顺序的排列问题！
新课自主学习
自学导引
l.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照______排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.我们把从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的______的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作______.
我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题.
3.=______；=______.
答案
1.一定的顺序
2.所有不同排列
3.n(n-1)n(n-1)(n-2)
预习测评
1.下列问题属于排列问题的是()
①从10名学生中抽2名学生开会；②从班上30名学生中选出6人,分别担任6科课代表；③从数字5,6,7,8中任取两个不同的数做幂运算.
A.①
B.②
C.③
D.②③
2.从1,2,3,4四个数字中,任选两个数进行加、减、乘、除运算,分别计算它们的结果,在这些问题中,有几种运算可以看作排列问题()
A.1
B.2
C.3
D.4
3.从5本不同的书中选出2本送给2名同学,每人一本,共有给法()
A.5种
B.10种
C.20种
D.60种
4.=______,=______.
答案
1.
答案：D
解析：①中无顺序；②中6人担任课代表有顺序；③中幂分底数和指数,存在顺序.
2.
答案：B
解析：因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两个数的位置无关,故不是排列问题做减法和除法时,结果与两个数的位置有关,故是排列问题.
3.
答案：C
解析：由排列数的定义知,共有=5×4=20种给法.
4.
答案：126
解析：=4×3=12；=3×2×1=6.
新知合作探究
探究点1排列和排列数的定义
知识详解
1.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.我们把从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作.
我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题.
特别提示
1.判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出元素后排列是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.
2.对于排列的列举问题,在排列个数不多的情况下,树状图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏,然后按树状图写出排列.
典例探究
例1下列问题是排列问题的是______.
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信.
解析(1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题.
(5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(6)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题.
所以在上述各题中,(2)(5)(6)属于排列问题.
答案(2)(5)(6)
方法总结判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时,是否与顺序有关,若与顺序有关,就是排列问题,否则就不是排列问题.
变式训练1判断下列问题是否是排列问题.
(1)从10名同学中任抽2名去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方法？
(2)某商场有四个大门,若从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来,不同的出入方式共有多少种？
答案(1)因为从10名同学中任抽2名去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序,所以不是排列问题
(2)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题.
例2写出下列问题的所有排列.
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数；
(2)从4个不同元
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