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《基本计数原理》同步学案

问题情境导入

从北京大学、清华大学、中国人民大学、浙江大学、复旦大学、武汉大学、同济大学这7所大学中,选6所进行填报,共有多少种不同的填报方法？

新课自主学习

自学导引

1.分类加法计数原理

完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有种方法,在第2类办法中有种方法?在第n类办法中有种方法,那么,完成这件事共有种方法.(也称“加法原理”)

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法?做第n步有种不同的方法,那么,完成这件事共有种方法.(也称“乘法原理”)

答案

1.

2.

预习测评

1.某学校高一年级共8个班,高二年级共6个班,从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务,不同的选法共有()

A.8种

B.6种

C.14种

D.48种

2.一个三层书架,分别放置语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中任取一本,则不同的取法共有()

A.37种

B.1848种

C.3种

D.6种

3.已知集合A={1,2},B={3,4,5},从集合A,B中先后各取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标,则可确定的不同点的个数为()

A.5

B.6

C.10

D.12

4.在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱的对角线共有()

A.20条

B.15条

C.12条

D.10条

5.一个礼堂有4个门,若从任一个门进,从任一个门出,共有不同走法______种.

答案

1.

答案:C

解析:根据题意,某学校从高一或高二的班级中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务,如果从高一的班级中选取,则有8种不同的选法:如果从高二的班级中选取,则有6种不同的选法,所以共有8+6=14种不同的选法.

2.

答案:A

解析:取法分为三类:第一类,从语文书中取1本,有12种不同的取法:第二类,从数学书中取1本,有14种不同的取法;第三类,从英语书中取1本,有11种不同的取法.所以共有12+14+11=37种不同的取法.

3.

答案:B

解析:完成这件事可分两步:第一步,从集合A中任选一个元素,有2种不同的方法:第二步,从集合B中任选一个元素,有3种不同的方法,由分步乘法计数原理知,一共有2×3=6种不同的方法.

4.

答案:D

解析由题意知,正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以一个正五棱柱的对角线共有2×5=10条.

5.

答案:16

解析:从任一个门进有4种不同走法,从任一个门出也有4种不同走法,故共有不同走法4×4=16种.

新知合作探究

探究点1分类加法计数原理

知识详解

1.分类加法计数原理

完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有种方法,在第2类办法中有种方法…在第n类办法中有种方法,那么,完成这件事共有种方法.(也称“加法原理”)

特别提示各类方法之间是互斥的、并列的、独立的,即“分类互斥”.

2.利用分类加法计数原理解决问题的步骤

(1)求完成一件事的所有方法数,这些方法可以分成n类,且类与类之间两两不交;

(2)求每一类中的方法数;

(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.

典例探究

例1在所有的两位数中,十位数字大于个位数字的两位数共有多少个？

解析方法一:按个位数字分类计数.方法二:按十位数字分类计数.

答案方法一:按个位数字分别是0,1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有9个、8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个.

方法二:按十位数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个、9个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数共有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45个.

方法归纳使用分类加法计数原理计数的两个条件:

(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;

(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法.

提醒:确定分类标准时要确保每一类都能独立完成这件事.

变式训练1在例1条件下,个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？