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《空间向量与立体几何》核心素养梳理复习

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答案

如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

l∥m或l与m重合l∥m

或

或与重合

l⊥ml⊥m

若点P是直线l外一点,是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为

点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量,在平面α的单位法向量方向上所作投影向量的长度,即

核心素养梳理

数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.

逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.主要表现为:掌握推理基本形式和规则,发现问题和提出命题,探索和表述论证过程,理解命题体系,有逻辑地表达与交流.

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.

数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.

本章内容涉及数学建模、逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养的地方较多,比如下面这几道例题,在第一问中证明线面垂直、线线垂直或面面垂直考查了逻辑推理核心素养;在第二问中求线面角、面面角的正弦值等,综合考查了数学建模、直观想象和数学运算等核心素养.

例1如图,在三棱锥P-ABC中,,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.

(1)求证:PO⊥平面ABC;

(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C的平面角为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.

解析(1)利用等腰三角形的性质可知OP⊥AC,.连接OB,同理可证OB⊥AC,,进而根据三边关系可知PO⊥OB.利用线面垂直判定定理可得PO⊥平面ABC.(2)建系,转化为两平面法向量夹角的余弦值绝对值为,解方程即可求出平面PAM的法向量,进而利用数量积求解.

答案(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且.连接OB,因为,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,.由知PO⊥OB,由OP⊥OB,OP⊥AC,AC∩OB=0,知PO⊥平面ABC.

(2)如图,以O为坐标原点,以OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

则O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),,取平面PAC的一个法向量=(2,0,0).设,则=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由,得可取,所以.由已知得,所以,解得a=-4(舍去),.所以.又,所以.以PC与平面PAM所成角的正弦值为.

例2在如图所示的多面体中,四边形ABCD是平行四边形,四边形BDEF是矩形,ED⊥平面ABCD,∠ABD=,AB=2AD.

(1)求证:平面BDEF⊥平面ADE;

(2)若ED=BD,求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.

解析(1)利用余弦定理可得,根据可知BD⊥AD.利用线面垂直、面面垂直判定定理即可证明结论(2)由(1)可以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出平面AEC的一个法向量n,利用化简计算即可.

答案(1)在△ABD中,∠ABD=,AB=2AD,由余弦定理,得,从而,所以△ABD为直角三角形且∠ADB=90°,故BD⊥AD.因为DE⊥平面ABCD,平面ABCD,所以DE⊥BD.又AD∩DE=D,所以BD⊥平面ADE.因为平面BDEF,所以平面BDEF⊥平面ADE.

(2)由(1)可得,在Rt△ABD中,,,又由ED=BD,设AD=1,则.因为DE⊥平面ABCD,BD⊥AD,所以可以点D为坐标原点,DA,DB,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

则A(1,0,0),C(-1,,0),E(0,0,),F(0,,).所以=(-1,0,),=(-2,,0).设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,得为平面AEC的一个法向量.因为=(-1,,),所以,所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.

例3如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,