《用向量方法研究立体几何中的位置关系》同步学案 (2).docxVIP

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《用向量方法研究立体几何中的位置关系》同步学案

问题情境导入

有人说:“向量是躯体,运算是灵魂.”“没有运算的向量只能起路标的作用.”可见向量运算在解决几何问题中起着重要的作用.那么,从本节开始,我们继续来学习如何运用向量方法解决立体几何问题.

新课自主学习

自学导引

1.设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,分别是平面的法向量,则

(1)l∥m或l与m重合______;

(2)l∥或l______;

(3)∥或与重合______;

(4)l⊥m______;

(5)l⊥______;

(6)⊥______;

2.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条______直线垂直,那么该直线与此平面垂直.

3.两个平面平行的判定定理:如果一个平面内的______与另一个平面平行,那么这两个平面平行.

4.三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内______的垂直,则它也和这条斜线垂直.

5.三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的一条______垂直,则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.

答案

1.(1)l∥m(2)l⊥(3)∥(4)l⊥m(5)l∥(6)

2.相交

3.两条相交直线

4.投影

5.斜线

预习测评

1.平面的一个法向量分别是a=(4,0,-2),b=(1,0,2),则平面的位置关系是()

A.平行

B.垂直

C.相交不垂直

D.无法判断

2.设平面与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面与向量b=(-2,4,-8)垂直,则平面与位置关系是_______.

3.斜线b在平面内的射影为c且直线a⊥c,则a与b______垂直.(填“一定”或“不一定”)

4.直线l的一个方向向量s=(-1,1,1),平面的一个法向量为n,若直线l∥平面,则x的值为______.

答案

1.

答案:B

解析:因为ab=4+0-4=0,所以⊥.

2.

答案:平行或重合

解析:由题意可知a为平面的一个法向量,b为平面的一个法向量,因为a=(-1,2,-4),b=(-2,4,-8),所以b=2a,所以a∥b,所以与平行或重合.

3.

答案:不一定

解析:因为a不一定在平面内,所以a与b不一定垂直.

4.

答案:

解析:线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,即s⊥n,故sn=(-x)=0,解得x=.

新知合作探究

探究点1直线的方向向量、平面的法向量与平行、垂直

知识详解

设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,分别是平面,的法向量,则

(1)l∥m或l与m重合l∥m;

(2)l∥或ll⊥;

(3)∥或与重合;

(4)l⊥ml⊥m;

(5)l⊥l∥;

(6)⊥.

特别提示用向量的方法验证直线和平面之间的位置关系时,一般是先找直线的方向向量和平面的法向量,再找直线的方向向量与平面的法向量之间的位置关系,然后根据上述结论即可得出结果,注意,不要忘记重合这种特殊情况.

典例探究

例1根据下列条件,判断相应的直线与平面、平面与平面的位置关系:

(1)直线l的一个方向向量、平面的一个法向量分别是a=(3,2,1),n=(-1,2,-1);

(2)平面的一个法向量分别是=(1,3,0),=(-3,-9,0);

(3)平面的一个法向量分别是=(1,-3,-1),=(8,2,2)

解析根据直线的方向向量和平面的法向量之间的关系进行判断.

答案(1)因为a=(3,2,1),n=(-1,2,-1),所以an=-3+4-1=0,所以a⊥n,所以l或l∥.

(2)因为=(1,3,0),=(-3,-9,0)=-3,所以∥,所以∥或或重合.

(3)因为=(1,-3,-1),=(8,2,2),所以·=8-6-2=0,所以⊥,所以⊥.

变式训练1直线l的一个方向向量和平面的一个法向量分别是m=(-1,1,3),n=,则直线l与平面的位置关系是()

A.

B.l⊥

C.l∥或l

D.无法判断

答案C

解析m·n=,所以m⊥n,所以l∥或l.

例2已知正方体的棱长为1,E是上的点,且,F是上的点,且.

(1)求平面A1BC1的一个法向量的坐标;

(2)求证:EF∥平面.

解析建立恰当的空间直角坐标系,用待定系数法求出平面的一个法向量n,然后证明⊥n.

答案建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1).

(1)设n=(x,y,z)是平面的一个法向量,则n⊥,n⊥,从而n=0,.

因为=(0,-1,1),=(-1,0,1),

所以可得x=z=y.

不妨取x=