《空间中的距离问题》教学设计一 (3).docxVIP

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《空间中的距离问题》教学设计一

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

情境引入

1.“距离”在生活中随处可见,例如,我们常说某两地之间的距离是多少,汽车的刹车距离是多少,等等.数学中的“距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的,要求具有准确的定义,以避免歧义.到目前为止,你学过哪些平面内的“距离”？这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有的性质吗？

2.回顾平面内直线l外一点P到直线l距离的几种求法.

教师出示问题1,学生思考、回答:

(1)两点间的距离;

(2)点到直线的距离;

(3)两条平行线之间的距离.

教师引导学生分析已学过的三种距离,学生得出关系:可将后两者距离转化为点与点间的距离

师生共同梳理平面内直线外一点到直线距离的三种求解方法:综合几何方法、解析几何方法和平面向量方法.

复习已学过的距离知识,为学习新知作准备.

探究新知

1.点到平面的距离

点P到平面的距离,等于点P与平面内任意一点A连线所得向量,在平面的单位法向量方向上所作投影向量的长度,即.

例1如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-ABCD.

(1)求证:是平面ABD的一个法向量;

(2)求点C到平面ABD的距离.

(1)证明依据题意有A(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,1).

因为

所以

.

从而

又AB,AD平面ABD,AB∩AD=A,所以⊥平面ABD,

即是平面ABD的一个法向量.

(2)解因为=(0,1,1),所以点C到平面ABD的距离为

例2在单位正方体ABCD-ABCD中,点M是侧面ABBA的中心.判断直线CM与平面ACD是否平行.若平行,请证明你的结论,并求直线CM到平面ACD的距离;若不平行,请说明理由.

分析平面ACD截正方体得一个三角形,如图.点C不在该三角形内,所以CM平面ACD.进一步研究二者的位置关系可以考虑平面ACD的法向量与是否垂直.

解以点D为原点,DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).由正方体的棱长为1,得

A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1),

C(0,1,1),.

所以,

设n=(x,y,z)是平面ACD的一个法向量,则

取x=1,得y=z=1,故n=(1,1,1).

因为

所以∥平面ACD.

又平面ACD

所以∥平面ACD.

因此,直线CM上任意一点到平面ACD的距离都相等,都等于直线CM到平面ACD的距离.

因为=(0,1,0),所以点C到平面ACD的距离为

即直线CM到平面ACD的距离为.

例3已知向量=(1,0,0),=(0,2,0),=(4,3,3),对任意的实数a,b,当向量n=-(a+b)的长度最小时,求a,b的值.

分析记向量=a+b.由平面向量基本定理可知,对任意的a,b,向量a+b都在,所确定的平面xOy内,反之,平面xOy内的任意向量都可以用a+b来表示.换句话说,当a,b变化时,点M是平面xOy内的动点.

解如图,=a+b,n=-(a+b),要使向量n=-(a+b)的长度最小,也就是线段MY的长度最短.

由点到平面距离的定义,当且仅当n⊥平面xOy时,线段MY的长度最短.

这时,

由n=-(a+b)=(4-a,3-2b,3),=(1,0,0),=(0,2,0),

得

即

解得

所以当n=-(a+b)的长度最小时,a=4,b=

2.点到直线的距离

若点P是直线l外一点,是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为

例4如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-ABCD,AB=1,BC=2,AA=3.用向量的方法求点B到直线AC的距离.

解依题意有A(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0).所以

=(1,2,-3),=(0,2,0),在方向上的投影数量为

.

所以点B到直线AC的距离为

.

师提出问题:如何借助平面的法向量求点到平面的距离？

教师引导学生思考分析思路:垂直反映了距离的本质.无论是对于平面还是直线,法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式,因此可以通过对一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离.

学生讨论并汇报:

如图,设点P是平面外一点,点A是平面内的已知点,是平面的单位法向量.

过点P作PP⊥平面,垂足为点P,则线段PP的长度就是点P到平面的距离,而,所以向量在法向量方向上的投影向量的长度就等于线段PP的长度.

教师出示例1,学生思考,在练习本上完成.

教师投影展示学生的解答过程,并请其他学生进行点

评

师生共同总结出用向量法求解点到平面的距离的方法.

教师继续出示例2,引导学生