专题04圆（考点清单+考点清单题型解读）（解析版）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）.docx

清单04圆的基本概念（考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】圆的定义

1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．

注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。

（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。

（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。

【清单02】点和圆的位置关系

点和圆的

位置关系

点到圆心的距离与半径的关系

图示

文字语言

符号语言

点在圆内

圆内各点到圆心的距离都小于半径，

到圆心的距离小于半径的点都在圆内

点在圆内

点在圆上

圆内各点到圆心的距离都等于半径，

到圆心的距离等于半径的点都在圆上

点在圆上

点在圆外

圆内各点到圆心的距离都大于半径，

到圆心的距离大于半径的点都在圆外

点在圆外

注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。

（2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。

（3）弦、弧、圆心角

1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．

2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作EQ\O(\s\up6(⌒),AB)，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．

5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

6．顶点在圆心的角叫做圆心角．

【清单03】定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．

注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；

⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．

【清单04】三角形的外接圆

⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

⑵三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.

⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.

【清单04】旋转的概念

一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.

注意：

（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.

（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.

【清单05】旋转的性质

一般地，图形的旋转有下面的性质：

(1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等；

(2)对应点到旋转中心的距离相等；

(3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.

要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.

【清单06】旋转的作图

在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．

注意：作图的步骤：

(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；

(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

(4)连接所得到的各对应点.

【清单07】垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

AE=BE如图，几何语言为：

AE=BE

要点：CD⊥ABCD是直径

CD⊥AB

2.推论

定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

要点：

（1）