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考点6空间向量与立体几何
——五年(2020—2024)高考数学真题专项分类汇编
一、选择题
1.[2024年新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为()
A. B. C. D.
2.[2022年新高考Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时,相应水面的面积为;水位为海拔时,相应水面的面积为,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔上升到时,增加的水量约为()
A. B. C. D.
3.[2022年新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()
A. B. C. D.
4.[2024年新课标Ⅱ卷]已知正三棱台的体积为,,,则与平面ABC所成角的正切值为()
A. B.1 C.2 D.3
5.[2021年新高考Ⅰ卷]已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()
A.2 B. C.4 D.
6.[2021年新高考Ⅱ卷]正四棱台的上?下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为()
A. B. C. D.
7.[2022年新高考Ⅰ卷]已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上,若该球的体积为,且,则该正四棱锥体积的取值范围是()
A. B. C. D.
二、多项选择题
8.[2022年新高考Ⅰ卷]已知正方体,则()
A.直线与所成的角为
B.直线与所成的角为
C.直线与平面所成的角为
D.直线与平面ABCD所成的角为
9.[2023年新课标Ⅱ卷]已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,,,点C在底面圆周上,且二面角为,则()
A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为
10.[2023年新课标Ⅰ卷]下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()
A.直径为的球体
B.所有棱长均为的四面体
C.底面直径为,高为的圆柱体
D.底面直径为,高为的圆柱体
11.[2022年新高考Ⅱ卷]如图,四边形ABCD为正方形,平面,,,记三棱锥,,的体积分别为,,,则()
A. B. C. D.
12.[2021年新高考Ⅰ卷]在正三棱柱中,,点P满足,其中,,则()
A.当时,的周长为定值
B.当时,三棱锥的体积为定值
C.当时,有且仅有一个点P,使得
D.当时,有且仅有一个点P,使得平面
三、填空题
13.[2020年新高考Ⅱ卷]已知正方体的棱长为2,分别为的中点,则三棱锥的体积为________________.
14.[2023年新课标Ⅱ卷]底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为____________.
15.[2023年新课标Ⅰ卷]在正四棱台中,,,,则该棱台的体积为___________.
16.[2020年新高考Ⅰ卷]已知直四棱柱的棱长均为2,,以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为______.
四、解答题
17.[2024年新课标Ⅰ卷]如图,四棱锥中,底面,,,.
(1)若,证明:平面PBC;
(2)若,且二面角的正弦值为,求AD.
18.[2024年新课标Ⅱ卷]如图,平面四边形ABCD中,,,,,,点E,F满足,,将沿EF翻折至,使得,
(1)证明::
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
19.[2022年新高考Ⅱ卷]如图,PO是三棱锥的高,,,E为PB的中点.
(1)证明:平面PAC.
(2)若,,,求二面角的正弦值.
20.[2023年新课标Ⅰ卷]如图,在正四棱柱中,,.点,,,分别在棱,,,上,,,.
(1)证明:;
(2)点P在棱上,当二面角为时,求.
21.[2022年新高考Ⅰ卷]如图,直三棱柱的体积为4,的面积为.
(1)求A到平面的距离;
(2)设D为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值.
22.[2021年新高考Ⅰ卷]如图,在三棱锥中,平面平面,,O为BD的中点.
(1)证明:;
(2)若是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.
参考答案
1.答案:B
解析:设圆柱和圆锥的底面半径均为r,因为它们的高均为,且侧面积相等,所以,得,所以圆锥的体积,故选B.
2.答案:C
解析:如图,依题意可知棱台的高,
所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面积,下底面积,
.故选C.
3.答案:A
解析:由题意得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为,.设该正三棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为,,外接球的球心为
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