《成对数据的线性相关性》教学设计 (1).docx

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《成对数据的线性相关性》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

课题引入

1.若两向量a=(),b=()共线,则其坐标需满足什么条件?

2.给定两个随机变量(X,Y)的7组成对数据:

(1,0),(),(0,1),(-),(-1,0),(),(0,-1),利用最小二乘法求Y关于X的线性回归方程.

思考:如何判定该问题中这两个变量X和Y是否具有线性关系呢?

学生思考并回答.

学生利用最小二乘法求出线性回归方程,教师引导学生通过画散点图回答思考问题,分析引入本节课所学.

为利用向量共线研究两变量的相关关系作铺垫.

创设问题情境,激发学生的求知欲望.

问题探究

1.给定随机变量X和Y,由3对数据(),(),()得到Y关于X的线性回归方程.

问题1回归直线一定经过的点的坐标是什么?

问题2若X和Y的线性相关性好,则和(i=1,2,3)的差应该不大,最理想的状况应该是

,,①

又,②

①-②得

,,.③

记向量u=(,,),v=(,,),则③式可记为v=u.

这表明,线性回归方程最理想的状况是两向量u,v具有怎样的关系?由此又能得到怎样的结论?

问题3在处理很多实际问题时,常常需要把一组数据,,…,标准化,即把它转化为均值为0、方差为1的数据,如何实施?

2.相关系数的取值范围是多少,其大小与两变量X和Y的线性强弱有何关系?

学生回答.

学生分组讨论,发现利用u,v两向量的夹角大小来刻画X和Y的线性相关程度,进而推导出线性相关系数r的公式.

学生看教材第235页内容,然后讨论回答.

给学生留一定的思考时间,然后让学生展示思考的结果,教师给予点评.

由问题1和问题2推导出线性相关系数公式.

加深学生对线性相关系数公式的理解,了解数据标准化的作用.

形成概念

1.一般地,设随机变量X,Y的n组观测值分别为(),(),…,(),记

称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数.

2.为了计算的方便,我们再给出如下式子:

3.样本(线性)相关系数r的取值范围是[-1,1].

值越接近1,随机变量之间的线性相关程度越强;值越接近0,随机变量之间的线性相关程度越弱.

当r0时,两个随机变量的值总体上变化趋势相同,此时称两个随机变量正相关;

当r0时,两个随机变量的值总体上变化趋势相反,此时称两个随机变量负相关;

当r=0时,此时称两个随机变量线性不相关.

师引导学生对前面的问题讨论并进行总结,让学生理清相关系数公式的两种形式的相互转化,尤其是要理解相关系数r的值反映两变量间的线性相关关系.

掌握(线性)相关系数公式的计算方法及通过数据反映的规律,提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.

应用举例

例1计算下表中随机变量之间的样本相关系数r(结果保留到小数点后的第9位),并谈谈通过计算发现了什么.

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

身高/cm

165

157

155

175

168

157

178

160

163

体重/kg

52

44

45

55

54

47

62

50

53

解根据上表,得到下表.

i

1

165

52

27225

2704

8580

2

157

44

24649

1936

6908

3

155

45

24025

2025

6975

4

175

55

30625

3025

9625

5

168

54

28224

2916

9072

6

157

47

24694

2209

7379

7

178

62

31684

3844

11036

8

160

50

25600

2500

8000

9

163

53

26569

2809

8639

合计

1478

462

243250

23968

76214

由此可得

因此,

由此可知,身高和体重具有很强的正相关性.从下图可以看出,散点图呈现的结果与样本相关系数r的计算结果一致.

例2计算下表中两个随机变量之间的样本相关系数r,并谈谈通过计算发现了什么.

X

-5

-4

-3

0

3

4

5

Y

0

3

4

5

4

3

0

解根据题表中的数据,得到下表.

i

1

-5

0

25

0

0

2

-4

3

16

9

-12

3

-3

4

9

16

-12

4

0

5

0

25

0

5

3

4

9

16

12

6

4

3

16

9

12

7

5

0

25

0

0

合计

0

19

100

75

0

因此,

由此可知,样本数据不具有线性相关性,建立线性回归方程是没有任何意义的.从下图可以看出,题目表格中的数据都在同一个半圆上,与样本相关系数r的计算结果一致.

例