专题05 垂美四边形（原卷版）.pdfVIP

垂美四边形

模型讲解

【结论】

2

对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：AB+C

222

D＝AD+BC

【证明】

∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：

222222

AB+CD＝AO+BO+CO+DO，

222222

AD+BC＝AO+DO+BO+CO，

2222

∴AB+CD＝AD+BC

方法点拨

一、解决方法：

①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；

②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形

。

例题演练

1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四

22

边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB+CD＝

．

【解答】解：∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

222222

由勾股定理得，AB+CD＝AO+BO+CO+DO，

222222

AD+BC＝AO+DO+BO+CO，

2222

∴AB+CD＝AD+BC，

∵AD＝2，BC＝4，

2222

∴AB+CD＝2+4＝20．

故答案为：20．

强化训练

1．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，

连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为

．

2．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足

为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）

222222222222

A．a+b＝5cB．a+b＝4cC．a+b＝3cD．a+b＝2c

3．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形AB

CD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．

2222

试证明：AB+CD＝AD+BC；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方

形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长

．

4．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．

（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2

222

+CD＝AD+BC．

（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt

△BCQ和等腰Rt△ABP．

①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；

②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝2