《概率论与数理统计》 教案 第4章 随机变量的数字特征.docx

PAGE16

PAGE16

PAGE3

PAGE3

课题

随机变量的数字特征

课时

6课时（270min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解数学期望的概念和性质。

（2）能够求解离散型随机变量、连续型随机变量和随机变量函数的数学期望。

（3）理解方差、标准差的概念及性质。

（4）掌握常用随机变量分布的数学期望与方差。

（5）理解协方差和相关系数的概念。

（6）掌握两个随机变量的协方差和相关系数的性质与计算。

（7）理解随机变量的相关性，掌握随机变量的独立性与相关性的关系。

（8）理解矩、协方差矩阵的概念，掌握两个随机变量的协方差的计算。

素质目标：

树立正确看待随机现象的世界观，掌握统计估计的思想与方法。

教学重难点

教学重点：离散型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的性质、方差的定义、方差的计算公式、方差的性质、常用随机变量分布的数学期望与方差、协方差、相关系数、随机变量的相关性和矩、协方差矩阵

教学难点：计算与应用常用的随机变量的数字特征

教学方法

问答法、讲授法、练习法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

你知道哪些随机变量的数字特征吗？

【学生】聆听、思考、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解离散型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的性质、方差的定义、方差的计算公式、方差的性质、常用随机变量分布的数学期望与方差、协方差、相关系数、随机变量的相关性和矩、协方差矩阵的相关知识

4.1数学期望

4.1.1离散型随机变量的数学期望

在引入离散型随机变量的数学期望前，我们先举个例子．

【教师】利用多媒体展示“射手甲的射击环数”和“射手乙的射击环数”表格，并讲解例题

设射手甲与乙在相同的条件下进行射击，他们各自命中的环数是随机变量，分别记为，其分布律如表所示．试问哪个射手的本领较好？

8

9

10

0.3

0.1

0.6

8

9

10

0.2

0.5

0.3

解甲、乙两个射手各自命中的环数如下：

甲：；

乙：．

由此可知，甲平均每枪射中9.3环，乙平均每枪射中9.1环，因此甲射手的本领较好．

【学生】聆听、理解、记忆

受上述问题的启发，我们引入如下定义．

定义4.1设离散型随机变量的分布律为，若级数绝对收敛，则称此级数为的数学期望（或均值），简称期望，记作，即

．（4-1）

为了便于解释期望的含义，我们暂设随机变量仅取有限个值，先考虑特殊情形，即设

()，

此时．

这表明，期望即为通常意义下的算术平均值．

【教师】利用多媒体展示“甲工人某天生产的次品数”和“乙工人某天生产的次品数”表格，并提出问题：

甲、乙两工人每天生产出相同数量同种类型的产品，分别表示甲、乙两人某天生产的次品数，统计数据如表所示．试比较他们技术水平的高低．

0

1

2

3

0.3

0.3

0.2

0.2

0

1

2

3

0.2

0.5

0.3

0

【学生】聆听、思考、举手回答

【教师】总结学生的回答

依题意得

，

．

即有，因此甲的技术水平比乙低．

4.1.2连续型随机变量的数学期望

定义4.2设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分为的数学期望（或均值），记作，即

．（4-2）

从几何意义上来说,就是曲线与轴之间平面图形重心的横坐标．

【教师】提出问题：

设随机变量的概率密度为

求．

【学生】聆听、思考、举手回答

【教师】总结学生的回答

由已知可得

．

4.1.3随机变量函数的数学期望

定理4.1设随机变量的函数为，是连续函数．

（1）若是离散型随机变量，其分布律为

()，

则当级数绝对收敛时，的数学期望为

．（4-3）

（2）若是连续型随机变量，其概率密度为，则当积分绝对收敛时，的数学期望为

．（4-4）

小贴士

定理4.1的重要意义在于：当我们求时,只需直接利用的分布律或概率密度计算即可，而不必先算出的分布律或概率密度再算．

【教师】利用多媒体展示“分布律”表格，并提出问题：

设随机变量的分布律如表所示，求，．

X

?1

0

2

3

P

【学生】聆听、思考、举手回答

【教师】总结学生的回答

由式（4-3）得

，

．

【教师】讲解例题

对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间内，求