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高等数学教案

主题：数列的极限

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教学主题

数列的极限

教学

目标

理解数列极限的概念

掌握收敛数列的性质

教学重点

数列极限的概念

教学难点

收敛数列的性质

教学方法

以理论讲述为主、学生进行讨论分析

课时

2课时

教学过程

教师活动

学生活动

一、实际问题进行导入

1.古代哲学家庄周所著的《庄子天下篇》中引入过一句话：“一尺之椎,日取其半,万世不竭”,其含义是：一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这样的过程可以无限制地进行下去.

为什么会出现这样的结果？（引发学生分析讨论）

明确数列的定义：自变量取正整数的函数，记为xn=fn

2.再给出几个数列,观察其变化趋势.

通过分析,可知随着数列的项数的增大,的变化趋势有两种情况：或者与某个确定的常数无限接近,或者不存在这样的常数.

3.明确数列的极限所研究的问题：当数列的项数无限增大时，数列的项的变化趋势.

一、针对于所提出的问题进行分析讨论,并作出回答

1.一根长为一尺的木棒,为什么每天截下一半,这样的过程可以无限制地进行下去？

2.分析以下数列的变化

趋势

教学过程

二、讲授新课,引出数列极限的概念

1.描述性定义

（1）当n无限增大时，如果xn无限趋近于某一确定的数值a，则称

例如：xn=-1

（2）问题：“无限趋近”到底意味着什么？用数学语言应该如何精确地进行刻划呢？

以xn=1+-1n-1n

2.精确性定义

（1）定义1：设为一数列,为定数.若对任給的正数,总存在正整数,使得当时有,则称数列收敛于,定数称为的极限,记为或.

用数学符号进行表示:

??ε0,?正数N,

（2）如果不存在这样的常数,则称数列没有极限,或称数列是发散的.

例如：数列和为收敛数列,其极限为,和为发散数列.

（3）注意：的任意性；的相应性；几何意义.

3.举例说明数列极限

例1：证明数列的极限是1.

证明：x

为了使xn-a

只要

QUOTE?ε0,取N=1ε,则当nN时

二、

1.与教师共同分析描述性定义,并得到数列极限的精确定义

2.能够对定义中所涉及的知识点进行思考加以理解

3.学生尝试利用数列极限的定义进行问题的解决

教学过程

例2：已知,证明数列的极限是.

证明:x

?ε0

不等式xn-aε

所以，取N=1ε-1

三、收敛数列的性质

1.定理1：（极限的唯一性）如果数列收敛,那么它的极限唯一.

证明：（反证法）假设同时有,且.

取,因为，故存在N1,使得当时，，从而.

同理，因为，故存在N2,使得当时，，从而.

取N=maxN1,N2,

2.定理2：（收敛数列的有界性）如果数列收敛,那么数列一定有界.

证明：设,

对于,存在正整数,使得当时有都成立.

因为,

于是,当时取,则有成立.

说明：此性质反过来不一定成立。

比如-1n+1

3.(收敛数列的保序性)：设且ab,则存在自然数N,当nN时

证明：因为由极限的定义，

对于ε=b-a2

即3a-b

对于上述ε=b-a

当nN

即a+b

取N=

注意：上述结论的逆不成立，但是有下述结论：

设且存在自然数N，当当nN

（2）（收敛数列的保号性）如果,且,那么存在正整数,当时,都有.

（3）设则存在自然数N，当nN

4.收敛数列与其子列间的关系

设nk是一严格单调递增的无穷数列，则数列xnk称为数列{xn}的子数列，简称子列，显然一个数列有无穷多个子列.如果数列

证明:设数列xnk是数列{

因为,且?ε0,当时,都有.

取正整数K=N,

由此证明.

注意：若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定是发散的.

如：x

四、课堂小结

（1）数列极限的概念

（2）学会利用数列极限的定义去进行简单的证明

（3）收敛数列的性质

三、理解收敛数列的相关性质

并尝试进行证明

四、与教师一起总结

板书设计

（副板书）1

（副板书）

1.“一尺之椎,日取其半,万世不竭”

1

n→∞,

2.

3.以xn

(主板书)

数列的极限

1.数列定义：……

2.数列极限的描述性定义：……。

3.数列极限的精确性定义：……。

数学语言表示：……。

注意：……

例1：……

例2：……

4.收敛数列的性质

（1）极限的唯一性

（2）收敛数列的有界性

（3）收敛数列的保序性

（4）收敛数列与其子列间的关系

5.课堂小结