专题05 定角定高（专项训练）（解析版）.pdfVIP

专题05定角定高（专项训练）

1．（2020•雁塔区校级二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD

∥BC，B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且EAF＝

60°，则△AEF的面积的最小值是．

【答案】4

【解答】解：将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，

由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，ABM＝D＝120°，MAB＝FAD，

∵ABC＝60°，

∴ABM+ABC＝180°，

∴M、B、E共线，

∵MAE＝MAB+BAE＝FAD+BAE＝60°，

EAF＝60°，AE＝AE，

∴△FAE≌△MAE（SAS），

∴MEA＝FEA，

过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，

∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2，

作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，

过O作ON⊥EF于N，

∵EAF＝60°，

∴EOF＝120°，

∴NOF＝60°，

设EF＝2x，则NF＝x，

Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，

∴ON+OA＝OF+ON＝x，

∵OA+ON≥AK，

∴x≥2，

∴x≥2，

∴S△AEF＝EF•AK＝＝2x≥4，

∴△AEF面积的最小值是4．

2．（2020春•和平区期中）如图，四边形ABCD中，BAD＝135°，B＝

60°，D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分别为边BC及射线CD上的动

点，EAF＝45°，△AEF面积的最小值．

【答案】

【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EH⊥AF于H，AN⊥

CD，交CD的延长线于N，

∵B＝60°，AM⊥BC，

∴BAM＝30°，

∴BM＝3，AM＝3，

∵ADC＝120°，

∴ADN＝60°，

∴NAD＝30°，

∴DN＝AD＝，AN＝，

∵BAD＝135°，EAF＝45°，BAM＝30°，

∴MAE+DAF＝60°，

又∵ADN＝DAF+DFA＝60°，

∴MAE＝AFD，

又∵AME＝N＝90°，

∴△AFN∽△EAM，

∴，

设ME＝x，则AE＝＝，

∴AF＝＝，

∵EAF＝45°，HE⊥AF，

∴HE＝AE＝×，

∴△AEF面积＝×AF×HE＝×（）＝×（），

2

∵当a，b为正数时，（a﹣b）≥0，

22

∴a+b≥2ab，

∴△AEF面积＝×（）≥×2×，

∴△AEF面积的最小值为，

故答案为．

3．【问题提出】

（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，AD⊥l于

点D且AD＝4，BAC＝45°．