专题05 对角互补模型巩固练习（提优）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.pdfVIP

对角互补模型巩固练习（提优）

1.如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的

斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为点G、H.

（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，探究BG与CH的大小关系，并说明理由；

（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋转过程中四边GBHD

的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围；

（3）当三角板旋转至如图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）中的结

论仍成立吗？并说明理由.

【解答】（1）BG＝CH；（2）面积不变，始终是4；（3）仍成立，理由见解析.

【解析】（1）连接BD，如图所示：

∵等腰直角三角ABC，点D为AC的中点，∴DB＝DC＝DA，∠DBG＝∠DCH＝45º，BD⊥AC，

∵EDF＝90º，∴∠ADG＋∠HDC＝90º，

∵∠BDC＝∠BDA＝90º，∴∠BDG＋∠ADG＝90º，∴∠BDG＝∠HDC，

∴△BDG≌△CDH（ASA），∴BG＝CH；

（2）在等腰直角△ABC中，∵AB＝BC＝4，∴△ABC的面积为8，∴∠A＝∠C＝45º，∴∠A＝∠DBH，

∵BD⊥AC，∠BDG＝∠CDH，∴∠BDH＝∠ADG，

又∵BD＝AD，∴△BDH≌△ADG（SAS），

由（1）可得△BDG≌△CDH，∴，

∵DA＝DC＝DB，BD⊥AC，，

∴在旋转过程中四边GBHD的面积不变，始终是4；

（3）连接BD，如图所示：

∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，∴∠BDG＝90º－∠CDG，∠CDH＝90º－∠CDG，∴∠BDG＝∠CDH，

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠BCD＝45º，∴∠DBG＝∠DCH＝135º，

∴△DBG≌△DCH，∴BG＝CH，∴结论仍然成立.

2.在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF

与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.

（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；

（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DE

＝DF；

（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.

【解答】（1）DE⊥AB；（2）见解析；（3）

【解析】（1）∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90º，

∵∠A＝60º，∠EDF＝120º，∴∠AED＝360º－∠A－∠AFD－∠EDF＝90º，∴∠DE⊥AB；

（2）连接AD，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：

∵点D是BC的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∴DM＝DN，

∵∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90º，∠A＝60º，∴∠MDN＝360º－60º－90º－90º＝120º，

∵∠EDF＝120º，∴∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND，∴DE＝DF；

（3）过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：

在△BOM与△CDN中，，∴BM＝CN，DM＝DN，

∵∠EDF＝120º＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，

在△DME与△NDF中，，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，

∴BE－CF＝BM＋EM－（FN－CN）＝2BM＝BD＝.

3.抛物线与轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与轴交于点C