专题05 二次函数背景下的矩形存在性问题（解析版） .pdfVIP

专题05二次函数背景下的矩形存在性问题

【例题讲解】

2

如图，抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动

点，过点D作y轴的平行线交MN于点E，点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为

矩形．

【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0）

∴设交点式y＝a（x+1）（x+3）

∵OC＝OB＝3，点C在y轴负半轴

∴C（0，﹣3）

把点C代入抛物线解析式得：3a＝﹣3

∴a＝﹣1

∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x+3）＝﹣x2﹣4x﹣3

（2）如图，∵D、F关于点E对称，

∴DE＝EF

∵四边形MDNF是矩形

∴MN＝DF，且MN与DF互相平分

∴DE＝MN，E为MN中点

∴xD＝xE＝＝m+2

由①得当d＝m+2时，DE＝4

∴MN＝2DE＝8

22222

∴（m+4﹣m）+[﹣m﹣12m﹣35﹣（﹣m﹣4m﹣3）]＝8

解得：m1＝﹣4﹣，m2＝﹣4+

∴m的值为﹣4﹣或﹣4+时，四边形MDNF为矩形．

【模型解读】

矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；

（2）对角线相等的平行四边形；

（3）有三个角为直角的四边形．

【题型分析】

矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系

中的矩形满足以下3个等式：

ì

x+x=x+x

ïACBD

ï

íyA+yC=yB+yD（AC为对角线时）

ï

2222

ïxA-xC+yA-yC=xB-xD+yB-yD

î

因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．

确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．

题型如下：

（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；

（2）1个定点+3个半动点．

【解析思路】

思路1：先直角，再矩形

在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三

角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．

引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩

形，求D点坐标．

y

B

A

Ox

【分析】