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辽宁省辽师大附中2023届高三(下)4月月考数学试题试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.二项式展开式中,项的系数为()
A. B. C. D.
2.函数的值域为()
A. B. C. D.
3.在边长为1的等边三角形中,点E是中点,点F是中点,则()
A. B. C. D.
4.设,则()
A. B. C. D.
5.若表示不超过的最大整数(如,,),已知,,,则()
A.2 B.5 C.7 D.8
6.设集合则()
A. B. C. D.
7.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,例如:四叶草曲线就是其中一种,其方程为.给出下列四个结论:
①曲线有四条对称轴;
②曲线上的点到原点的最大距离为;
③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为;
④四叶草面积小于.
其中,所有正确结论的序号是()
A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④
8.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来,“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图,下列描述错误的是()
A.这五年,出口总额之和比进口总额之和大
B.这五年,2015年出口额最少
C.这五年,2019年进口增速最快
D.这五年,出口增速前四年逐年下降
9.如图,在中,,是上一点,若,则实数的值为()
A. B. C. D.
10.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述正确的是()
A.乙的数据分析素养优于甲
B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C.甲的六大素养整体水平优于乙
D.甲的六大素养中数据分析最差
11.为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积,将称为基尼系数.
对于下列说法:
①越小,则国民分配越公平;
②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.
其中正确的是:
A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④
12.记等差数列的公差为,前项和为.若,,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图,在△ABC中,E为边AC上一点,且,P为BE上一点,且满足,则的最小值为______.
14.已知定义在的函数满足,且当时,,则的解集为__________________.
15.已知函数函数,则不等式的解集为____.
16.若关于的不等式在时恒成立,则实数的取值范围是_____
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).点在曲线上,点满足.
(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求动点的轨迹的极坐标方程;
(2)点,分别是曲线上第一象限,第二象限上两点,且满足,求的值.
18.(12分)如图,己知圆和双曲线,记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、,又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.
(1)若,且恰为的左焦点,求的两条渐近线的方程;
(2)若,且,求实数的值;
(3)若恰为的左焦点,求证:在轴上不存在这样的点,使得.
19.(12分)已知函数,.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的极小值;
(3)求函数的零点个数.
20.(12分)设数列的前列项和为,已知.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:.
21.(12分)某公司打算引进一台设备使用一年,现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元,乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修,对于每台设备,一年间三次及三次以内免费维修,三次以外的维修费用
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