第04讲 解三角形（九大题型）（讲义）.docx

第04讲解三角形

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：基本定理公式 4

知识点2：相关应用 4

知识点3：实际应用 5

解题方法总结 6

题型一：正弦定理的应用 7

题型二：余弦定理的应用 8

题型三：判断三角形的形状 9

题型四：正、余弦定理的综合运用 10

题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 11

题型六：解三角形的实际应用 13

题型七：倍角关系 16

题型八：三角形解的个数 17

题型九：三角形中的面积与周长问题 18

04真题练习·命题洞见 20

05课本典例·高考素材 21

06易错分析·答题模板 22

易错点：忽视三角形三角间的联系与范围限制 22

答题模板：利用边角关系解三角形 23

考点要求

考题统计

考情分析

（1）正弦定理、余弦定理及其变形

（2）三角形的面积公式并能应用

（3）实际应用

2024年I卷第15题，13分

2024年II卷第15题，13分

2024年甲卷第11题，5分

2023年I卷II卷第17题，10分

2023年甲卷第16题，5分

2023年乙卷第18题，12分

2022年I卷II卷第18题，12分

高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主．

复习目标：

（1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形．

（2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．

（3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

知识点1：基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

公式

；

；

．

常见变形

（1），，；

（2），，；

；

；

．

（2）面积公式：

（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）

【诊断自测】在△ABC中，若，则（????）

A． B． C． D．

知识点2：相关应用

（1）正弦定理的应用

=1\*GB3①边化角，角化边=2\*GB3②大边对大角大角对大边

=3\*GB3③合分比：

（2）内角和定理：

=1\*GB3①

同理有：，．

=2\*GB3②；

=3\*GB3③斜三角形中，

=4\*GB3④；

=5\*GB3⑤在中，内角成等差数列．

【诊断自测】（2024·四川眉山·三模）在中，分别是角所对的边，若，则（????）

A． B． C． D．

知识点3：实际应用

1、仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．

2、方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．

3、方向角：相对于某一正方向的水平角．

（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．

（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

（3）南偏西等其他方向角类似．

4、坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．

【诊断自测】（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向通过路口后转向西北方向，围绕道路打造了一个半径为的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道，则的最小值为．

解题方法总结

1、方法技巧：解三角形多解情况

在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

解的个数

一解

两解

一解

一解

无解

2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．

3、三角形中的射影定理

在中，；；．

题型一：正弦定理的应用

【典例1-1】（2024·浙江·模拟预测）在中，分别为角的对边，若，，，