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第21讲重难点拓展:二次函数综合之三种线段问题
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题型一:线段的数量关系题型二:线段最问题
题型三:周长最问题
一、线段的数量关系
此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标,针对这种情况应先在图中找出对
应线段,弄清已知点和未知点;再联系二次函数和一次函数,设出未知点的坐标,使其
只含一个未知数;最后表示出线段的长度,列出满足线段数量关系的等式,从而求出未
知数的;
二、线段最问题
此类问题通常有两类:
①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标),通过题
目中的函数和图形关系,用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标,进而表示出线段
的长,通过二次函数的性质求最,继而得到线段的最大或最小;
②在求线段最小的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点,使
其到两个顶点的距离最小,通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点,连接这个对
称点与另一个定点的线段即为所求的最小;
三、周长最问题
此类问题一般为所求图形中有一动点,对其求周长最,解决此类问题时应利用转
化思想,即先观察图形,结合题目,分清楚定线段和不定线段,然后将其所求图形周长
的最转化到求不定线段和的最,进而转化为求线段最问题,其方法同(2).
»题型归纳
题型一:线段的数量关系
【例1】(2024-安徽合肥•一模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+4的对称轴为直
3
线,二5,与,轴交于A,B两点,与y轴交于点C,已知8(4,0).
(1)求。,人的;
(2)已知横坐标为/的点P为对称轴左侧的抛物线上一动点,过点尸作,轴的平行线交抛物线于另一点M,
①若△OCP与OCM的面积之和为8,求/的;
②过点尸作,轴的垂线PN,垂足为N,直线枷交线段8。于点Q,是否存在这样的点P,使MN=2MD?
若存在,求出/的;若不存在,请说明理由.
[a=—l
【答案】⑴kq
(2)①-—;②存在,且/的为-——-.
22
【分析】(1)根据题意列方程组,解方程组即可得到结论;
(2)①由(1)知,抛物线的函数表达式为y=-/+3工+4,求得点C的坐标为(。,4),由题意知尸(,
3
-广+勿+4),肱(37,—户+勿+4),当时,当Y0时,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论;
②根据待定系数法求得直线8。的函数表达式为V=-工+4,由MN=2MD,得到点。为线段MN的中点,
求得点。的横坐标为^^=1,得到根据题意列方程即可得到结论.
本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,线段中点的定义,三角形的面积公式,正确地
求得二次函数的解析式是解题的关键.
【详解】(1)解:由题意得把B(4,0)代入y=ax2+bx+4
3
且结合对称轴=j
_b__3
得2。2,
16。+48+4=0
(a=—l
解得a;
[b=3
••y——x^+3x+4;
(2)解:①由(1)知,抛物线的函数表达式为y=-子+3工+4,
.••点C的坐标为(。,4),
由题意知+3f+4),M(3—t,—t2+3f+4),
31i
当0a时,ZkOCP的面积=-x4xt=2t,tOCM的面积=-x4x(3-0=6-2g
此时△OCP与OCM的面积之和为6,不符合题意;
当.0时,Z\OCP的面积=—4
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