组合教案 高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册.docxVIP

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第4章计数原理

4.3组合

教案

学习目标

1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.

2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明.

3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题.

教学重难点

1.教学重点：组合、组合数的概念及应用.

2.教学难点：组合数的性质及应用.

教学过程

情境引入

教师提问：考察下面两个问题，并思考这两个问题与上节的问题1、2有什么联系与区别？

教师提出问题1：平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的线段共有多少条？

学生思考回答：如图，以A为端点，到其余四点的线段有4条：AB，AC，AD，AE.

A不是端点，以B为端点之一，到其余三点的线段有3条：BC，BD，BE；

A，B都不是端点，以C为端点之一，到其余两点的线段有2条：CD，CE；

A，B，C都不是端点，以剩下两点D，E为端点的线段只有1条：DE.

共有（条）不同的线段.

教师提出问题2：从a，b，c，d这4个字母中，取出3个组成一组，共有多少种不同的取法？

学生思考回答：从a，b，c，d这4个字母中，取出3个组成一组，所有取法为abc，abd，acd，bcd.共有4种不同的取法.

教师总结：上述问题1、2与上节的排列问题比较而言，相同点都是从n个不同元素中取出个元素；不同点是本节的两个问题与所选的元素的顺序无关，而排列问题与顺序有关.

新知积累

1.组合

一般地，从n个不同元素中取出个不同的元素，不论次序地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

根据组合的定义，两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同.

2.组合数

从n个不同元素中取出个不同的元素，所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.

思考：从n个不同元素中取m个元素的组合数怎么计算呢？

3.组合数公式

一般地，求从n个不同元素中取m个元素的排列数，可以分两步完成：

第一步（选元素），先从这n个不同元素中取出m个元素，不考虑次序构成一个组合，共有个组合；

第二步（排位置），将每一个组合中的m个元素进行全排列，全排列数是.

根据分步乘法计数原理，得到.由此得到组合数的计算公式：，其中，并且，这个公式叫作组合数公式.

因为，所以，上面的组合数公式还可以写成.特别地，.

一般地，从n个不同元素中取m个元素的组合数与从n个不同元素中取个元素的组合数相等，即.

因为，，

所以成立.

例题巩固

例1计算和.

解，

.

例2为助力建设宜居宜业和美乡村，星辰中学从“十佳志愿者”的10人中任选5人代表学校参加“为美丽乡村增光添彩”的志愿服务活动.问：

（1）共有多少种不同的选法？

（2）如果还要从选出的5人中再选定一人为组长，那么共有多少种不同的选法？

解（1）由于从10人中任选5人，与顺序无关，所以共有种选法.

（2）（方法一）从这10人中任选5人，并确定其中一人为组长，可以分为如下两步完成：

第一步，先从10人中任选5人，共有种方法；

第二步，从选出的5人中再确定1人为组长，共有种方法.

根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法.

（方法二）从这10人中任选5人，并确定其中一人为组长，可以分为如下两步完成：

第一步，先从10人中选定1人为组长，共有种方法；

第二步，从余下的9人中再选4人，共有种方法.

根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法.

例3从4台标清彩电和5台高清彩电中选购3台，要求至少有标清彩电与高清彩电各1台，共有多少种不同的选法？

解选法可分为两类：

第一类，从4台标清彩电中选1台，从5台高清彩电中选2台，共有种不同的选法；

第二类，从4台标清彩电中选2台，从5台高清彩电中选1台，共有种不同的选法.

根据分类加法计数原理，共有种不同的选法.

例46本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：

（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；

（2）分为三份，每份2本.

解（1）将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，可以分为三步完成：

第一步，先从6本书中选2本给甲，有种选法；

第二步，从其余的4本书中选2本给乙，有种选法；

第三步，最后剩余的2本书给丙，有种选法.

根据分步乘法计数原理，共有种不同的分法.

分给甲、乙、丙三人，每人2本，这件事情可以分两步完成：

第一步，将6本书分为三份，每份2本，设有x种方法；

第二步，将这三份分给甲、乙、丙三人，有种方法.

根据（1）的结论和分步乘法计数原理得到，所以.

因此分为三份，每份2本，一共有15种方法.

课堂练习

1.若，则正整数()

A.4 B.5 C.6 D.7

答案：C

解析：，，解得（舍去）或.故选C.

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