课题学习最短路径问题八年级数学人教版.pptxVIP

将军饮马问题13.4课题学习最短路径问题|13.4课题学习第1课时|

将军饮马能利用轴对称解决简单的最短路径问题.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

情景引入传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为将军饮马的问题广泛流传。问题：将军饮马BA

问题：将军饮马BA实际问题

应该怎样走才能使路程最短?AC作图问题

在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.B

复习旧知回顾：哪些与最短有关的数学知识？“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”AB①②③PlABCD

新知探究思考：(1)现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？lC连接AB,与直线l相交于一点C.AB作法:连线段、得交点

思考：(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？lB′作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．ABC

思考：(3)所作的AC+BC最短吗？请说明理由？lB′ABCC′证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．

思考：(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？lB′作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．ABC作法:作对称、连线段、得交点

归纳知识名称牛郎织女问题将军饮马问题图形依据作法两点之间线段最短(化折为直)lCABlB′ABC求作一点C,使AC+BC最短问题.求作一点C,使AC+BC最短问题.连线段、得交点作对称、连线段、得交点

典例讲解例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定B

例2（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点，并说明理由；（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由；（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．ABCDPOABNOABM图①图②图③

ABCDC图①PPP图②POABEF图③NOABMMNEF

归纳知识此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.

课堂小结名称牛郎织女问题将军饮马问题图形依据作法两点之间线段最短(化折为直)lCABlB′ABC求作一点C,使AC+BC最短问题.求作一点C,使AC+BC最短问题.连线段、得交点作对称、连线段、得交点转化

课堂练习1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD

2．直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是()A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角D

3.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）