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16种求极限方法及一般题型解题思路分享

求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。为了

求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。下面介绍16种常用的求

极限方法，以及一般题型解题思路。

一、直接代入法

对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极

限。例如，求函数f(x)=2x+3在x=1处的极限，直接代入即可得到结

果。

二、分解因式法

对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都

是多项式的情况。例如，求函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极

限，可以将分子进行因式分解，得到f(x)=(x-1)(x+1)/(x-1)，然后

约去公因式，即可得到结果。

三、夹逼定理

夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。如果一个函数在某一

点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函

数的极限也存在且等于这个相等的极限。例如，对于函数f(x)=x*sin(1/x)，

当x趋近于0时，f(x)被两个函数g(x)=x和h(x)=-x夹住，且g(x)

和h(x)的极限都是0，所以f(x)的极限也是0。

四、变量代换法

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锲而不舍，金石可镂。

对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。例如，对于函数

f(x)=sin(1/√x)，当x趋近于0时，可以将√x=t，那么x=t^2，且

当x趋近于0时，t也趋近于0，所以求f(x)在x=0处的极限可以转化

为求g(t)=sin(1/t)在t=0处的极限。

五、洛必达法则

洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如0/0或∞/

∞的不定式。根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且

为0或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不

是0/0或∞/∞的形式。例如，求函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=

1处的极限，可以使用洛必达法则，先对分子和分母求导，得到f(x)=

(2x)/(1)，然后再次求极限，得到结果为2。

六、泰勒展开法

对于某些函数，可以使用泰勒级数展开来求极限。泰勒级数是一种用多项

式逼近函数的方法，可以将复杂的函数转化为多项式运算。例如，对于函数

f(x)=sin(x)，可以将其展开为泰勒级数，得到f(x)=x-(1/6)x^3+

(1/120)x^5-...，然后可以通过截断级数来求出函数在某一点的极限。

七、等价无穷小替换法

对于一些复杂的极限问题，可以将函数替换为一个等价的无穷小函数来简

化计算。等价无穷小是指在某一点处具有相同极限的函数。例如，对于函数

f(x)=x^2-2x，当x趋近于1时，可以将函数替换为一个等价的无穷小函

数g(x)=(x-1)^2，然后计算g(x)在x=1处的极限即可。

八、特殊函数极限法

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对于一些特殊的函数，可以利用已知函数极限的性质来求出极限。例如，

对于函数f(x)=ln(x)/x，当x趋近于0+时，可以利用已知的ln(x)在x

=0处的极限为-∞，然后利用恒等式ln(a^b)=b*ln(a)，得到极限为0。

同样，对于函数f(x)=(1+1/x)^x，当x趋近于∞时，可以利用已知的

e^x的极限为∞，然后利用