2025年高考数学重点题型归纳精讲精练1.4不等式的性质及一元二次不等式（新高考地区）（解析版） (2).docx

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1.4不等式的性质及一元二次不等式

【题型解读】

【知识储备】

1．不等式的基本性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

ab?ba

?

传递性

ab，bc?ac

?

可加性

ab?a＋cb＋c

?

可乘性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,c0))?acbc

注意c的符号

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,c0))?acbc

同向可加性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,cd))?a＋cb＋d

?

同向同正可乘性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab0,cd0))?acbd

?

可乘方性

ab0?anbn(n∈N＋，n1)

a，b同为正数

可开方性

ab0?eq\r(n,a)eq\r(n,b)(n∈N＋，n1)

2．两个实数比较大小的方法

(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab,a－b＝0?a＝b,a－b0?ab))(a，b∈R)

(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)1?ab,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)1?ab))(a∈R，b0)

3．一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0(a≠0)．

4．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

方程ax2＋bx＋c＝0

(a0)的根

有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)

有两个相等的实数根

x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|xx1或xx2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))

R

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

?

5.分式不等式与整式不等式

(1)eq\f(f?x?,g?x?)0(0)?f(x)g(x)0(0)；

(2)eq\f(f?x?,g?x?)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

【题型精讲】

【题型一不等式性质的应用】

必备技巧判断不等式的常用方法

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．

(2)利用特殊值法排除错误答案．

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．

例1（2024·辽宁·东北育才学校一模）若a，b，c∈R，ab，则下列不等式恒成立的是（???????）

A． B．a2b2

C． D．a|c|b|c|

【答案】C

【解析】当a=1，b=-2时，满足ab，但，a2b2，排除A，B；

因0，ab，由不等式性质得，C正确；

当c=0时，a|c|b|c|不成立，排除D，

故选：C

例2（2024·浙江模拟）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A，取，该不等式成立，但不满足；

对于C，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；

对于D，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；

下面证明B

法一：不等式等价于，而.函数在上单增，故.

法二：若，则，故，矛盾.故选：B

【题型精练】

1.（2024·北京海淀·二模）已知，且，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对于A，令，显然，错误；

对于B，，

又不能同时成立，故，正确；

对于C，取，则，错误；

对于D，取，则，错误.

故选：B.

2．（多选题）（2024·福建三明·模拟预测）设，且，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】因为，，所以，的符号不能确定，

当时，，故A错误，

因为，，所以，故B正确，

因为，所以，故C正确，

因为，所以，所以，所以，故D错误，

故选：BC

【题型二比较数（式）的大小】

必备技巧比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．

例3（2024·江苏·高三专题复习）设x，y为正数，比较与的大小.

【解】因为为整数，则且，

由，当且仅当时，等号