2025年高考数学重点题型归纳精讲精练2.2函数的单调性和最值、值域（新高考地区）（解析版） (2).docx

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2.2函数的单调性和最值、值域

【题型解读】

【知识储备】

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

（3）复合函数的单调性（同调增；异调减）

对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．

2．函数的最值

前提

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

【题型精讲】

【题型一函数单调性判断】

必备技巧确定函数单调性的五种方法

(1)定义法：利用定义判断．

(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．

(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

(4)性质法：利用函数单调性的性质．

(5)复合函数“同增异减”的原则，需先确定简单函数的单调性．

例1（2024·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.

【答案】答案见解析

【解析】任取、，且，，则：

，

当时，，即，函数在上单调递减；

当时，，即，函数在上单调递增.

例2（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（???????）

A．递增区间是 B．递减区间是

C．递增区间是 D．递增区间是

【答案】D

【解析】因为函数，作出函数的图象，

如图所示：

由图可知，递增区间是，递减区间是和．

故选：D．

例3（2024·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】令，解得，

令，则，

∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，

∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是

故选：C

例4（2024·九龙坡区·重庆市育才中学高三月考）已知，则的单调增区间为

【答案】

【解析】因为对数函数在上是增函数，反比例函数在上也是增函数，

所以在定义域上单调递增；又是由向左平移两个单位得到，所以的单调增区间为.

例5（2024·天津静海区月考）函数的单调减区间为___________

【答案】

【解析】,当,即时原函数为减函数.故函数的单调减区间为.故答案为：

【题型精练】

1.（2024·全国·高三专题练习）已知函数f（x）lg．判断并证明函数f（x）的单调性；

【解析】由题意，，解得

故f（x）的定义域为（0，4）

令，，由于在（0，4）单调递减，在单调递增，因此在（0，4）单调递减，又在（0，4）单调递减，故f（x）在（0，4）上单调递减，证明如下：

设0＜x1＜x2＜4，则：

，

∵0＜x1＜x2＜4，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，4﹣x1＞4﹣x2＞0，，

∴，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，4）上单调递减

2．（2024·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，．由，得．

因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数，

所以函数的单调减区间是．

故选：C.

3.（2024·全国·高一专题练习）函数的增区间是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由二次函数的图象可知

在上是增函数

故选：C

【题型二函数单调性比较大小】

例6（2024·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，，，，

于是得函数在上单调递增，而函数是R上的偶函数，即，

显然有，因此得：，

所以.

故选：B

例7（1）（2024·江苏淮安市·高三二模）已知函数，设，，，则（）

B． C． D．

（2）（2024·四川资阳市月考）设曲线在处