【人教版高中数学精讲精练必修一】5.6 函数y=Asin(ωx+φ)（精讲）（解析版）.docx

5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)（精讲）

一．三角函数的伸缩平移

1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响-----横坐标平移-----左加右减

2.ω(ω0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响-----横坐标伸缩

3.A(A0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响-----纵坐标的伸缩

二.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A0，ω0）中，A，ω，φ的物理意义

（1）简谐运动的振幅就是A.

（2）简谐运动的周期T＝eq\f(2π,ω).

（3）简谐运动的频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).

（4）ωx＋φ称为相位.

（5）x＝0时的相位φ称为初相.

一．图象平移变换的方法

(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．

(2)当x的系数是1时，若φ0，则左移φ个单位；若φ0，则右移|φ|个单位．

(3)当x的系数是ω(ω0)时，若φ0，则左移eq\f(φ,ω)个单位；若φ0，则右移eq\f(|φ|,ω)个单位．

二．“五点法”作图

1.实质：利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．

2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤

第一步：列表

ωx＋φ

0

eq\f(π,2)

π

eq\f(3π,2)

2π

x

－eq\f(φ,ω)

eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)

eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)

eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)

eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)

f(x)

0

A

0

－A

0

第二步：在同一坐标系中描出各点．

第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．

三．由y＝Asin(ωx＋φ)的图象求其解析式的常用方法

方法一：最值法

(1)A：一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定|A|，|A|＝eq\f(f?x?max－f?x?min,2).

(2)ω：因为T＝eq\f(2π,ω)，所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线及其与x轴的交点来确定T，注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为eq\f(T,2)，相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T.

(3)φ：以五点作图法中的最高点作为突破口，即当ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，y有最大值，或者由五点作图法中的第一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口，从图象的升降情况找准第一点的位置．

方法二：“五点”对应法

依据五点作图法的原理，点的序号与式子的关系如下；

“第一点”(即图象第一次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝0；

“第二点”(即图象的“峰点”)横坐标满足ωx＋φ＝eq\f(π,2)；

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝π；

“第四点”(即图象的“谷点”)横坐标满足ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；

“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝2π.

考点一“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

【例1】（2023春·云南昆明·高一校考阶段练习）（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.

列表:??

x

y

作图:

??

（2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【解析】（1）先列表，后描点并画图.

0

x

y

0

1

0

0

??（2）把的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象.

【一隅三反】

1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知函数

(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；

(2)直接写出函数的值域和最小正周期．

列表：

作图：

??

【答案】(1)答案见解析

(2)值域，最小正周期为

【解析】（1）解：列表:

0

图象如图所示：

??

（2）解：因为，则，

故函数的值域为，最小正周期为.

2．（2023春·北京·高一校考开学考试）已知函数.

(1)试用“五点法”画出它的图象；

列表：

作图：

(2)从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数的图象？（两种方法）

【答案】(1)详见解析；

(2)详见解析；

【解析】（1）令，则，列表如下，

描点画图.

（2）方法一：先将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，最后将曲线上各点的纵坐标变为原来的，得到的图象.

方法二：先将的图象各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，然后将曲线向左平移个单位，得到函数的图象，最后将曲线上各