直线方程的一般式教案.doc

直线方程的一般式

教学目标：

1、知识目标：

⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）

⑵理解直线方程五种形式之间的内在联系，掌握直线方程几种形式的互化，从整体上把握直线方程；

2、能力目标：

⑴通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析问题、讨论问题的能力。

⑵学会分类讨论思想解决数学问题。

3、情感目标：

(1)通过直线方程几种形式互化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点

(2)体验数学发现和探索的历程，培养创新意识

教学重点、难点：

1、重点：

(1)掌握直线方程的一般形式，以及点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化;

(2)让学生明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线;

2、难点：

(1)对直线方程一般式的理解与应用,进一步体会解析几何学科的特点。

(2)理解直线方程几种形式之间的内在联系，能从整体上把握直线的方程．

教学方法

引导探究法、讨论法

教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑。

教学过程

创设情境，引入新课

练习：由下列条件，写出直线的方程：

（1）经过点A（8,2），斜率是-2Y-2=-2(x-8)2x+y-18=0

（2）经过点B（0,-2），倾角为；y=x-2x-y-2=0

（3）经过点P1（3,2），P2（5,4）x-y-1=0

（4）在x轴，y轴上的截距分别为2，3.2x+3y-6=0

师生活动：通过解题和讨论，总结前面学过的直线方程的几种特殊形式的条件、方程和使用范围如下：

形式

条件

方程

应用范围

点斜式

过点P1(x1,y1)，斜率为k

K存在

斜截式

斜率为k，在y轴的截距为b

K存在

两点式

过不同两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)

K存在

截距式

在x轴、y轴上的截距分别为a、b

k存在且不过原点

[设计意图]：由实例得出：直线方程的这几种特殊形式都具有局限性，我们需要找到一种形式的直线方程，能够表示坐标平面内的所有直线。复习旧知识，为新知识的引入做好铺垫。

问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？

提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？

（这些方程都是关于x、y的二元一次方程）

猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。

二、新课讲授

探究：探究直线和二元一次方程的关系

[1]平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？

师生活动?引导学生用分类讨论的方法思考探究问题

(1)当倾斜角不为90°时,任何一条直线都可以写成y=kx+b形式,即kx-y+b=0;

(2)当倾斜角为90°时,任何一条直线都可以写成的形式,即

∴任何一条直线的方程都可以写成Ax+By+C=0的形式.

[2]每一个关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？

(1).若B≠0,方程可变为

(2).若B=0时,方程Ax+C=0

a当A≠0时,方程变为x=-C/A表示垂直于x轴的直线,即斜率不存在的直线.

b当A=0时,则不表示直线.

方程Ax+By+C=0,不一定代表直线,只有当A,B不同时为零时,即≠0才代表直线.

概括指出：任何一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示；任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。

得出定义：关于x的二元一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.

[设计意图]：使学生理解直线和二元一次方程的关系。引导学生对字母A、B、C讨论，从而也明确A、B的限定条件,体会用分类讨论的方法解决数学问题。

讨论：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？

师生互动：学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与轴垂直的直线。

[设计意图]：使学生理解直线方程的一般式的与其他形式的不同点。

三、例题剖析：

例1．直线方程，A、B、C满足什么条件时，方程表示的直线

（1）平行于在x轴；

（2）平行于y轴；

（3）与x轴重合；

（4）与y轴重合；

（5）与x轴y轴都相交；

（6）直线在两坐标轴上的截距相等；

（7）直线过一、二、三象限。

例2.已知直线经过点A(6,–4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.

解：设直线点斜式方程为，

知点A在直线上，k=-4/3，因此有y-(-4)=-4/3(x-6)

变形得一般式方程为