备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题05构造函数证明不等式(学生版+解析).docxVIP

专题5构造函数证明不等式

函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的．

(一)把证明转化为证明

此类问题一般简单的题目可以直接求出的最小值,复杂一点的题目是有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围

【例1】（2024届黑龙江省哈尔滨市三中学校高三下学期第五次模拟）已知函数（）.

(1)讨论的单调性；

(2)当时,求证：.

【解析】（1）由题意可知,函数的定义域为,

导数,

当时,,；当时,,；；

综上,当时,函数在区间上单调递减；

当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.

（2）由（1）可知,当时,

函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.

所以函数,

要证,需证,

即需证恒成立.

令,则,

所以函数在区间单调递减,故,

所以恒成立,所以当时,.

【例2】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数.

(1)求证：当时,；

(2)求证：.

【解析】（1）证明：因为,则,,

当时,,,,函数单调递减,

则成立；当时,令,则,

因为函数、在上均为减函数,

所以,函数在上为减函数,

因为,,所以存在,使得,

且当时,,此时函数单调递增,

当时,,此时函数单调递减,

而,所以,又因为,所以存在,使得,

当时,,此时函数单调递增,

当时,,此时函数单调递减,

因为,所以,,

所以,对任意的时,成立,综上,对任意的恒成立.

（2）证明：由（1）,对任意的,,则,

即,

对任意的,,

所以,,则,

所以,

从而可得,

上述两个不等式相加可得

,

所以,,

又由（1）,因为,则,

可得,

当且时,,

所以,,即,

所以,当时,,

从而有,

上述两个不等式相加得：

,

所以,,

当时,,即,

所以,对任意的,,

因此,.

(二)把证明转化为证明

此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式.

【例3】（2024届西省榆林市第十中学高三下学期一模）已知函数,其中．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时,证明：．

【解析】（1）,,

当时,,函数在上单调递增；

当时,由,得,

函数在区间上单调递增,

由,得,函数在区间上单调递减．

综上,当时,在上单调递增,无减区间.

当时,在上单调递增,在上单调递减.

（2）当时,,

要证,即证,

①当时,,,；

②当时,令,

则,设,则,

,,,,,

在上单调递增,,即,

在上单调递增,,

即．综上,当时,．

(三)把证明转化为证明

有时候把证明转化为证明后,可能会出现的导函数很复杂,很难根据导函数研究的最值,而的最小值及的最大值都比较容易求,可考虑利用证明的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为未必有.

【例4】（2024届广东省部分学校高三上学期第二次联考）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当时,证明：.

【解析】（1）由题意可得.

则时,由,得,由,得,

则在上单调递减,在上单调递增；

当时,由,得,由,得,

则在上单调递增,在上单调递减.

（2）因为,所以.

因为,所以.

要证,即证,即证.

设,则.当时,,当时,,

则在上单调递减,在上单调递增.

故.

设,则.当时,,当时,,

则在上单调递增,在上单调递减.

故.因为,且两个最值的取等条件不同,

所以,即当时,.

(四)把证明转化为证明

若直接证明比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如构造一个中间函数,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数,再通过证明来证明原不等式.

【例5】已知函数在区间上单调．

(1)求的最大值；

(2)证明：当时,．

【解析】(1)由已知得,,

要使函数在区间上单调,可知在区间上单调递增,

令,得,即,解得,（）,

当时满足题意,此时,在区间上是单调递增的,故的最在值为.

(2)当时,要证明,即证明,

而,故需要证明.先证：,（）

记,,

时,,所以在上递增,

,故,即.

再证：,（）令,

则则,

故对于,都有,因而在,上递减,

对于,都有,因此对于,都有.

所以成立,即成立,故原不等式成立.

(五)改变不等式结构,重新构造函数证明不等式

此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常见的变形方法有：

=1\*GB3①去分母,把分数不等式转化为整式不等式；

=2\*GB3②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式；

=3\*GB3③不