备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题09指数型函数取对数问题(学生版+解析).docxVIP

专题9指数型函数取对数问题

函数与导数一直是高考中的热点与难点,在导数解答题中有些指数型函数，直接求导运算非常复杂或不可解，这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如的函数取对数可以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在解高考导数题中有时能大显身手.

(一)等式两边同时取对数把乘除运算转化为加减运算

形如的等式通过两边取对数，可以把乘除运算，转化为加减运算，使运算降级.

【例1】（2024届辽宁省名校联盟高三上学期联考）已知，，函数和的图像共有三个不同的交点，且有极大值1．

(1)求a的值以及b的取值范围；

(2)若曲线与的交点的横坐标分别记为，，，且．证明：．

【解析】（1）因为，，所以当时，，，

所以在上单调递增，无极大值；

当时，，，

所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以为极大值点，所以，解得．

因为，图像共有三个不同的交点，

所以方程有三个不等正实根．

设，则，且当时，t与x一一对应，

所以问题转化为关于t的方程有三个不等实根．

又0不满足方程，所以方程有三个实根．

设，则函数与函数的图像有三个交点，

当或时，，

，所以在，上单调递增；

当时，，

，所以在上单调递减．

当，时，，而；当时，，

无论还是，当时，都有，

当时，．

根据以上信息，画出函数的大致图像如下图所示，

??

所以当时，函数与函数的图像有三个交点，故b的取值范围为．

（2）证明：要证，只需证，

只需证．

设（1）中方程的三个根分别为，，，

且，，，2，3，从而只需证明．

又由（1）的讨论知，，．

下面先证明，设，则．

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递增，

所以，所以当时，，

从而当，时，．

又由（1）知在，上单调递增，在上单调递减．

所以当时，，令，解得，

由得；

当时，，令，解得，

由得；

当时，，令，解得，

由得．

综上，，得证．

(二)等式两边同时取对数把乘方运算转化为乘法运算

通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.

【例2】（2024届辽宁省大连市高三上学期考试）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.

【解析】（1）函数的定义域为，求导得则，由得，

若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，

若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减；

所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）由，两边取对数得，即，

由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

，而，时，恒成立，

因此当时，存在且，满足，

若，则成立；

若，则，记，，

则，

即有函数在上单调递增，，即，

于是，

而，，，函数在上单调递增，因此，即，

又，则有，则，

所以.

【例3】（2024届湖南省娄底市高三下学期考前仿真联考二）已知函数.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)若，

（i）证明：函数有三个不同的极值点；

（ii）记函数三个极值点分别为，且，证明：.

【解析】（1）函数的定义域为，当时，，则

，

令，则，

所以在上递增，所以，

所以当时，，当时，，所以在上递减，在上递增；

（2）（i）因为，且，，

由，得（），令，则，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，所以，

当时，在和上各有一个实数根，分别记为，则，设，当或时，，当或时，，

所以在和上递减，在和上递增，

所以函数在上有三个不同的极值点，

（ii）由（i），

所以是方程的两个不相等的实数根，即，，

所以，同理，

所以，

由，，得，

所以，

因为，所以要证，只要证，

即证，即证，

即证，只需证，即，即，

由（i）可得，所以，

根据（i）中结论可知函数在上递减，所以要证，即证，

因为，所以，所以只要证，即，得，

即，得，

令，则，

令，则，

所以在上递减，所以，所以，

所以在上递减，所以，所以得证.

(三)把指数型不等式通过两边取对数转化为对数型不等式

若一个不等式两边同时含有幂值，常通过取对数改变不等式结构

【例4】（2024届天津市武清区杨村一中高三下学期第二次热身练）已知（，且）.

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)当时，求证：在上单调递增；

(3)设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】（1）当时，，，

所以，，所以切线方程为，即.

（2）当时，，则，

要证明在上单调递增，

只需证明在上恒成立，则只需证，即只需证.

设，则只需证

因为，所以在单调递增，

所以时，即时，成立，