备战2025年高考数学压轴大题数列(新高考全国通用)专题01数列中的证明问题(学生版+解析).docxVIP

专题1数列中的证明问题

新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,证明一个数列是等差数列、等比数列或证明数列满足某些条件是数列中的一种重要题型,对逻辑推理能力要求较高,对式子变形能力要求较高,常出现在解答题第1小题,本专题总结等差数列与等比数列及其他数列的证明常用方法及技巧.

利用等差数列定义证明数列是等差数列

利用定义法证明是等差数列,就是证明对任意n∈N*,an＋1－an是同一常数．

【例1】（2024届四川省自贡市高三第三次诊断）已知数列的前项和为,且．

(1)证明：数列为等差数列；

(2)若,,成等比数列,求的最大值．

【解析】（1）数列满足①,

当时,有②,

①②可得：,

即,变形可得,

故数列是以为等差的等差数列；

（2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列,

若,,成等比数列,则有,

即,解得,所以,

所以单调递减,又当时,,当时,,当时,,

故当或时,取得最大值,

且．

【例2】（2024届河北省沧州市泊头市第一中学等校高三下学期5月高考模拟）已知数列满足.

(1)证明：数列为等差数列,并求；

(2)令,求数列的前项和.

【解析】（1）由,知,

所以,

所以数列是以为首项,-1为公差的等差数列,

所以,

所以.

（2）因为,

所以.

(二)利用证明数列是等差数列

若对任意n∈N*,数列满足2an+1＝an＋2＋an,则是等差数列.

【例3】已知数列有,（常数）,对任意的正整数n,,并有满足．

(1)求a的值；

(2)证明数列是等差数列．

【解析】（1）由已知,得,

所以.

（2）由得,则,

所以,

即,

于是有,并且有,

所以,

即,

而是正整数,,即,

所以数列是等差数列.

(三)证明数列不是等差数列

证明数列不是等差数列,一般只需要证明该数列的连续3项不成等差数列,通常利用反证法证明.

【例4】给定数列,若首项且,对任意的,都有,则称数列为“指数型数列”.

(1)已知数列为“指数型数列”,若,求；

(2)已知数列满足,判断数列是不是“指数型数列”？若是,请给出证明；若不是,请说明理由；

(3)若数列是“指数型数列”,且,证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.

【证明】（1）因为数列是“指数型数列”,所以对于任意的,

都有.因为,

所以,.

（2）数列是“指数型数列”.

证明:由,得,即,

所以数列是等比数列,且,

则,

,

所以数列是“指数型数列”.

（3）因为数列是“指数型数列”,故对任意的,

有,则,所以,

适合该式.

假设数列中存在三项构成等差数列,不妨设,

则由,得,

所以,

当为偶数且时,是偶数,而是奇数,是偶数,

故不能成立；

当为奇数且时,是偶数,而是偶数,是奇数,

故不能成立；

所以,对任意的,不能成立,

即数列中任意三项都不能构成等差数列.

(四)利用等比数列的定义证明数列是等比数列

利用定义法证明是等比数列,就是证明对任意n∈N*,是同一常数．

【例5】（2024届浙江省北斗星盟高三下学期适应性联考）在直角坐标平面内有线段,已知点是线段上靠近的三等分点,点是线段上靠近的三等分点,……,点是线段（,）上靠近的三等分点,设点的横坐标为.

(1)求证：数列为等比数列；

(2)若,,求的通项公式.

【解析】（1）解：由题意得??所以,可得,

又由,所以

所以数列是首项为,公比为的等比数列.

（2）解：因为,,所以,

因为数列是公比为的等比数列,所以时,.

由累加法可得时,

,即当时,,

经检验,满足上式,所以数列的通项公式.

【例6】（2024届湖南师范大学附属中学高三下学期模拟）记为数列的前项和,已知.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求最小的正整数,使得对一切都成立.

【解析】（1）由题知,

用替换上式的,得.

两式作差,,即.

而由,可得.

从而是首项为,公比为的等比数列.

（2）由（1）得,于是,

设,则,

当时,,故,

两式作差,得.

整理可得.

故,又,因此满足条件的最小正整数为.

(五)利用证明数列是等比数列

若对任意正整数n,都有,且,则数列是等比数列.

【例7】（2024届贵州省毕节市高三第三次诊断性）在无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为m阶等比数列．

(1)若数列为1阶等比数列,,,求的通项公式及前n项的和；

(2)若数列为m阶等差数列,求证：为m阶等比数列；

(3)若数列既是m阶等差数列,又是阶等差数列,证明：是等比数列．

【解析】（1）因为为1阶等比数列,所以为正项等比数列,

设公比为,则为正数,

由已知得,解得,

因为,所以,所以,

所以的通项公式为,

前n项的和为；

（2）因为为m阶等差数列,所以对任意的,都存在,

使得成立,

所