备战2025年高考数学压轴大题数列(新高考全国通用)专题02数列通项的求法(学生版+解析).docxVIP

专题2数列通项的求法

新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,求数列的通项是数列中的最基本的题型,也是高考中的热点,本专题总结求数列通项的18种类型,供大家参考.

等差数列求通项

若给出是等差数列,求,通常是利用方程思想整理出关于与的方程,解方程（组）,求出与,再利用通项公式求．

【例1】（2024届贵州省六盘水市高三下学期三诊）已知为等差数列,且,．

(1)求的通项公式；

(2)若恒成立,求实数λ的取值范围．

【解析】（1）设数列的公差为d,则根据题意可得,

解得,则．

（2）由（1）可知运用等差数列求和公式,得到,

又恒成立,则恒成立,

设,则,

当时,,即；

当时,,则,则；

则,故,

故实数λ的取值范围为．

等比数列求通项

若给出是等比数列,求,通常是利用方程思想整理出关于与的方程,解方程（组）,求出与,再利用通项公式求．

【例2】（2024届陕西省富平县高三第二次模拟）已知等比数列的各项均为正数,前n项和为,且满足,.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足,求数列的前2n项和.

【解析】（1）设等比数列的公比为,由及,

得,

解得,于是,即,

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）知,,

所以

.

累加法求通项

若给出,且前项和可求,则可利用累加法求：,通常为等差数列、等比数列或可裂项求和的数列.

【例3】已知数列是等差数列,且,数列满足,,且.

(1)求数列的通项公式；

(2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列,求数列的通项公式；

(3)设数列的前项和为,证明：.

【解析】（1）由题意可知,即,故,

由,可得,

所以数列的公差,所以,

由,

叠加可得,

整理可得,当时,满足上式,

所以；

（2）不妨设,即,可得,

当时,,不合题意,

当时,,

所以在数列中均存在公共项,

又因为,所以.

（3）当时,,结论成立,

当时,,

所以,

综上所述,.

累乘法求通项

若给出,且前项乘积可求,则可利用累乘法求：,通常为等比数列或型的数列.

【例4】（2024届新疆高三下学期第三次适应性检测）若一个数列从第二项起,每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列,则称这个数列是一个“二阶等比数列”,如：1,3,27,729,…….已知数列是一个二阶等比数列,,,.

(1)求的通项公式；

(2)设,求数列的前项和.

【解析】（1）设,由题意得数列是等比数列,,,

则,即,

由累乘法得：,

于是,故,

也满足,所以.

（2）由（1）得

,

令,则,

∴

.

利用与的关系,把条件化为与的关系式求通项

任何一个数列,它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.))若a1适合Sn－Sn－1,则应把它们统一起来,否则就用分段函数表示．

【例5】（2024届吉林省吉林地区普通高中高三四模）已知数列的前项和为,且.

(1)求实数的值和数列的通项公式；

(2)若,求数列的前项和.

【解析】（1）当时,,,

,

当时,,

整理得,

数列是以1为首项,3为公比的等比数列,；

（2）,

①,

②,

①②得

.

利用与的关系,把条件化为与的关系式求通项

在利用与的关系求时,有时不方便把条件化为与的关系式,这是可先把条件化为与的关系式,求出,再求.

【例6】已知数列的前n项和为,且．

(1)求；

(2)数列的每一项均为正数,,数列的前n项和为,当时,求n的最小值．

【解析】（1）当时,,

当时,,

所以,所以（常数）,

故数列是以为首项,2为公差的等差数列．

所以

当时,也适合,

所以.

（2）由（1）知,,得

所以

,

当时,即,所以n的最小值为2024．

(七)根据数列为等差数列,求

若数列为等差数列,则都是等差数列,可分别求通项,再看能否合并．

【例7】（2024届山东省青岛第五十八中学高三下学期二模）已知数列满足,且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设,数列的前项和为,若,求的最小值.

【解析】（1）数列中,,,当时,,

则,由,得,

当为正奇数时,数列是首项为3,公差为4的等差数列,

则,即,

当为偶奇数时,数列是首项为5,公差为4的等差数列,

则,即,即,

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）知,显然数列是首项为,公比的等比数列,

则,由,得,整理得,

而数列是递增数列,,因此,

所以的最小值为5.

(八)根据数列为等比数列,求

数列为等比数列,则都是等比数列,可分别求通项,再看能否合并．

【例8】（2024届河北省沧州市部分示范性高中高三下学期三模）已知数列满足,,.

(1)求数列的通项公式；

(2)设,数列的前项和为,求证：.

【解析】（1）,,,

,两式