第03讲 三角函数的图象与性质（十大题型）（讲义）（含答案解析）.docx

第03讲三角函数的图象与性质

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 4

知识点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质 5

知识点3：与的图像与性质 7

解题方法总结 10

题型一：五点作图法 10

题型二：函数的奇偶性 15

题型三：函数的周期性 18

题型四：函数的单调性 22

题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） 27

题型六：函数的定义域、值域（最值） 30

题型七：三角函数性质的综合应用 35

题型八：根据条件确定解析式 42

题型九：三角函数图像变换 50

题型十：三角函数实际应用问题 53

04真题练习·命题洞见 60

05课本典例·高考素材 63

06易错分析·答题模板 65

易错点：三角函数图象变换错误 65

答题模板：求三角函数解析式 67

考点要求

考题统计

考情分析

（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质

（2）三角函数图像的平移与变换

（3）三角函数实际应用问题

2024年天津卷第7题，5分

2024年北京卷第6题，5分

2024年II卷第9题，6分

2023年甲卷第12题，5分

2023年天津卷第5题，5分

2023年I卷第15题，5分

本节命题趋势仍是突出以三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意识．

复习目标：

（1）理解正、余弦函数在区间内的性质．理解正切函数在区间内的单调性．

（2）了解函数的物理意义，能画出的图像，了解参数对函数图像的影响．

（3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题．

知识点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．

（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．

【诊断自测】已知向量，向量，令．

0

??

(1)化简，并在给出的直角坐标系中用描点法画出函数在内的图象；

(2)求函数的值域．

【解析】（1），

0

图像如下图：

（2），，，

，，故函数值域为.

知识点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数

图象

定义域

值域

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

递增区间

递减区间

无

对称中心

对称轴方程

无

注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；

正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；

【诊断自测】（多选题）（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（????）

A．函数的最小正周期为

B．

C．函数在上单调递增

D．方程的解为，

【答案】ABD

【解析】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确；

对于B，由，所以，

因为，则，则，

因为，则，所以，故B正确；

对于C，，由，得，

而，即时，没有意义，故C错误；

对于D，，则，

方程，得，

即，即，

所以或，因为，，所以或，解得或，故D正确.

故选：ABD.

知识点3：与的图像与性质

（1）最小正周期：．

（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．

（3）最值

假设．

①对于，

②对于，

（4）对称轴与对称中心．

假设．

①对于，

②对于，

正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．

（5）单调性．

假设．①对于，

②对于，

（6）平移与伸缩

由函数的图像变换为函数的图像的步骤；

方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．

方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．

注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．

【诊断自测】（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数为偶函数，将图象上的所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若的图象过点，则（????）

A．函数的最小正周期为1B．函数图象的一条对称轴为

C．函数在上单调递减

D．函数在上恰有5个零点

【答案】AC

【解析】由函数为偶函数，得，而，则，

因此，，

由，得，于是，