上海市洋泾中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题（解析版）.docx

上海市洋泾中学2024学年度第一学期

高二数学期中考试试卷

命题：曲昱琦审题：徐家仓终审：陈丽达

（考试时间：90分钟，满分：100分）

一、填空题（第1～6题每题3分，第7～10题每题4分，满分34分）

1.已知集合，，则________________.

【答案】##

【解析】

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为集合，，故.

故答案为：.

2.已知复数（其中为虚数单位），则_________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据共轭复数的定义计算即可.

【详解】.

故答案为:.

3.已知函数（）是偶函数，则的最小值是________________

【答案】

【解析】

【分析】由诱导公式及三角函数的奇偶性即可判断.

【详解】因为（）是偶函数，

所以，又，

所以当时，取最小值.

故答案为：

4.在中，角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c，已知，，，则______

【答案】

【解析】

【分析】由正弦定理求解．

【详解】由正弦定理得，解得.

故答案为：．

5.已知，，，则的最小值为________________

【答案】2

【解析】

【分析】由利用基本不等式求最小值．

【详解】∵，，，

∴，

当且仅当，即时等号成立，

故答案为：2.

6.已知数列为等比数列，、，则______

【答案】

【解析】

【分析】根据等比数列性质，，求出，进而得到答案.

【详解】因为数列为等比数列，、，

所以，所以，

又，所以，即，

所以.

故答案为：-

7.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得，解出弧长，最后利用侧面积公式即可.

【详解】设圆锥的母线为,则,所以,

则圆锥的侧面积为.

故答案为：.

8.把一个表面积为平方厘米的实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆柱（假设没有任何损耗），则圆柱的高是________________厘米．

【答案】

【解析】

【分析】求出球的半径和体积，设出圆柱的高，根据体积相等得到方程，求出圆柱的高.

【详解】设球的半径为厘米，则，解得，

球的体积为立方厘米，

故圆柱的底面半径也为2厘米，设圆柱的高为厘米，则，

解得.

故答案为：

9.已知函数满足：，则不等式解集为____．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可知为奇函数，利用分离常数得在上单调递增，结合奇函数与单调性得关系可得在上单调递增，再解得，即可判断解集．

【详解】根据题意可得，且为奇函数

当时，，则在上单调递增

∴上单调递增

则，即，解得

∴即的解集为

故答案为：．

10.在正三棱柱中，，点P满足BP=λBC+μBB1，其中

①当时，的周长为定值

②当时，三棱锥的体积为定值

③当时，有且仅有一个点P，使得

④当时，有且仅有一个点P，使得平面

【答案】②④

【解析】

【分析】①结合得到P在线段上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P，使得线面垂直.

【详解】由题意得：BP=λBC+μBB1，

①，当时，，即，，所以P在线段上，所以周长为，如图1所示，当点P在处时，，故①错误；

②，如图2，当时，即，即，，所以P在上，，因为∥BC，平面，平面，所以点P到平面距离不变，即h不变，故②正确；

③，当时，即BP=12BC+μBB1，如图3，M为中点，N为BC的中点，P是MN上一动点，易知当时，点P与点N重合时，由于△ABC为等边三角形，N为BC中点，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因为平面，则，当时，点P与点M重合时，可证明出⊥平面，而平面，则，即，故③错误；

④，当时，即BP=λBC+12BB1，如图4所示，D为的中点，E为的中点，则P为DE上一动点，易知，若平面，只需即可，取的中点F，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点P与点E重合时，故只有一个点P符合要求，使得平面，故④正确.

故选：②④

【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.

二、选择题（第11～12题每题3分，第13～14题每题4分，满分14分）

11.设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用作差法逐项进行判断即可.

【详解】A．因为，的正负无法确定，故错误；

B．因为，的正负无法确定，故错误；

C．因为，的正负无法确定，故错误；

D．因为，，所以，所以，故正确，

故选：D.

【点睛】方法点睛：常