1.1.2 空间向量基本定理（教学课件）- 高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

第一章空间向量与立体几何

1.1.2空间向量基本定理

人教B版(2019)

课标要点

核心素养

1.理解共线向量

数学抽象

2.了解共面向量定理

数学运算

3.了解空间向量基本定理

数学运算

平面向量中的结论

共线向量基本定理如果a≠0且b//a,则存在唯一的实数λ,使得

b=λa.

平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.

共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立。

例如，如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在直线AA₁上的充要条件是，存在实数λ,使得AP=λAA₁;如果M在底面ABCD

内，则一定存在实数s与t,使得AM=sAB+tAD,而且，若ME⊥AD

MF⊥AB,则AF=sAB,AE=tAD.

如果两个向量a,b不共线，则向量a,b,c共面的充要条

件是，存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb.

O共:向量定理

定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要

注意到当xa与xb不共线时，xa,xb,xa+xb分别是平行四边形的两条邻边和一条对角线即可.

AC=b,AA₁=c,在AC₁上和BC上分别有一点M和N,且AM=kAC₁

BN=kBC,其中0≤k≤1.求证：MN,a,c共面.

例1如图所示，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a,

证明：因为AM=kAC₁=kb+kc,

AN=AB+BN=a+kBC=a+k(-a+b)=(1-k)a+kb,所以MN=AN-AM=(1-k)a+kb-kb-kc=(1-k)a-kc.

由共面向量定理可知，MN,a,c共面.

如果A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，

存在唯一的实数对(x,y),使AP=xAB+yAC.

空间中四点共面的充要条件

如果空间中三个向量a,b,c不共面，那么对空间中的任意一个

向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.

2.空间向量基本定理

空间向量基本定理中p用abc表示的表达式p=xa+yb+zc

唯一.特别地，当a,b,c不共面时，可知xa+yb+zc=0⇔x=

y=z=0.

表达式xa+yb+zc一般称为向量a,b,c的线性组合或线性表

达式.上述空间向量基本定理说明，如果三个向量a,b,c不共面，则它们的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量.

基底与基向量

空间中不共面的三个向量a,b,c组成空间向量的一组基底，记为{a,b,c}.此时,a,b,c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc,

则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式.

例2如图所示平行六面体ABCD-ABCD′中，设AB=a,

AD=b,AA=c,试用基底{a,b,c}表示向量AC,BD,Ac,DB.

解：因为是平行六面体，

所以AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA=a+b+c.

类似地，有BD=BA+AD+DD=-AB+AD+AA=-a+b+c

Ac=AB+BB+BC=AB-AA+AD=a+b-cDB=DA+AB+BB=-AD+AB+AA=a-b+c

,

.

例3如图所示，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为A₁C₁的

中点，∠ABC=60°,AB=2,BC=CC₁=1,求AB₁·CD.

解：由题意可知|BAI=2,IBCHBB|=1,(BA,BC)=60°,(BB,BA)=(BB,BC)=90°,

所以BA·BC=2×1×cos60°=1,BB₁·BA=BB₁·BC=0,又因为AB₁=AB+BB₁=-BA+BB,

例3说明，如果空间向量中，有三个不共面的向量的长度和相互之间的角度都已知，那么以这三个向量为一组基底，可以研究其他向量之间的数量积等问题.

1.已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点.若由OM=30A-OB+λOC确

定的点M与A,B,C共面，则λ的值为(B)

A.-2B.-1C.1D.2

解析：由点M与A,B,C