2025年高考数学重点题型归纳精讲精练2.1函数的概念及其表示（新高考地区）（解析版） (2).docx

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2.1函数的概念及其表示

【题型解读】

【知识储备】

1．函数的概念

一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

2．函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

4．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

【题型精讲】

【题型一函数的概念】

必备技巧函数的概念

(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．

(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系即可.

例1（2024·湖南·高三课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（???????）

A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②

【答案】C

【解析】由题意，函数的定义域为，

对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系；

对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；

对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；

对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.

故选：C

例2（2024·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（???????）

A．，

B．

C．，

D．，，0，，，，0，

【答案】D

【解析】对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，

对于B：，，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，

对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，

对于D：对应点的坐标为，，，对应点的坐标为，，，两个函数对应坐标相同，是同一函数，

故选：D．

【题型精练】

1.（2024·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（???????）

A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）

【答案】C

【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.

故选：C.

2．（2024·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，，是同一函数的是（???????）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】D

【解析】

解：对于A选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；

对于B选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；

对于C选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；

对于D选项，，的定义域均为，对应关系均为，故是同一函数.

故选：D

【题型二函数的定义域】

必备技巧函数的定义域

(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略

已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．

(2)求抽象函数的定义域的策略

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．

例3（2024·湖北省广水市实验高级中学高三阶段练习）函数的定义域为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】要使函数有意义，则有解得且.

所以函数的定义域为.

故选：B

例4（1）（2024·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（???????）

A． B． C． D．

（2）（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为______.

【答案】（1）B（2）

【解析】（1）的定义域为，，即，

，解得：且，

的定义域为.

故选：.

（2）的定义域是，则，

即函数的