【人教版高中数学精讲精练必修二】8.3 简单几何体的表面积与体积（精讲）（解析版）.docxVIP

8.3简单几何体的表面积与体积（精讲）

思维导图

思维导图

典例精讲

典例精讲

考点一多面体的体积与表面积

【例1-1】（2022春·江西上饶·高一校联考期末）已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的体积为（????）

A．8 B． C． D．

【答案】C

【解析】由于直观图是正方形，所以ABCD是水平边长为2，

且水平边上的高为的平行四边形，则ABCD面积是，

所以直四棱柱的体积是.故选：C.

【例1-2】（2022·高一课时练习）如图，在正方体ABCD--A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（）

A．1∶1 B．1∶

C．1∶ D．1∶2

【答案】C

【解析】设正方体的边长为，则表面积，

因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线．

则面对角线长为，三棱锥D1-AB1C的表面积，

所以.故选：C

【例1-3】（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一中学校考阶段练习）正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．

【答案】

【解析】如图，设上下底面中心分别为，分别为的中点，则即为斜高，

过点作于点，则，

，所以，所以，

上底面面积，下底面面积，

所以棱台的体积.故答案为：.

【例1-4】（2022春·广东东莞·高一校联考期中）一个正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如下图所示，在正四棱锥中，底面的边长为，

设点在底面的射影点为点，则四棱锥的高，

则为的中点，且，，

取的中点，连接，则，且，

，故正四棱锥的表面积为.

故选：B.

【例1-5】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设上底面边长为，则下底面边长为，高为，

上底面正方形对角线长为，下底面正方形对角线长为，

又侧棱长为，所以，解得，

所以侧面等腰梯形的高为，

所以该棱台的侧面积为.

故选：A.

【例1-6】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______.

【答案】10

【解析】由题意可得，

因为是的中点，

所以，，

，，

所以，

故答案为：10.

【一隅三反】

1（2022·天津东丽·高一天津市第一百中学校考期末）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（????）

A．27 B． C．9 D．

【答案】A

【解析】由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：，

所以正三棱锥的斜高为：，所以这个正三棱锥的侧面积为：．故选：．

2．（2022·高一单元测试）已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

结合题目边长关系，三棱锥如图所示，，由题意是等腰直角三角形,则,，则表面积为.

故选：C.

3．（2022·课时练习）如果正四棱柱的对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为____.

【答案】

【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则且，

所以，，所以，所以该棱柱的体积为.故答案为：.

4．（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）若正三棱台的上?下底面的面积分别是和，体积为，则其侧棱长为___________.

【答案】

【解析】因为棱台体积公式V（SS′）h，所以，所以高，

又因为正三棱台上?下底面的面积分别是和，所以上下底面边长分别是2和4，如图所示，O′?O分别是上?下底面的中心，连接OO′?O′B′?OB，

在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E，

∵是边长为2的等边三角形，O′是中心，

∴O′B′，OB，∴

在中，，BE，∴B′B，

∴该三棱台的侧棱长为.

故答案为：

5．（2022·甘肃兰州）在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是______．

【答案】

【解析】过点作平面，则为正方形的中心，连接，易知．

因为，所以，又，所以，

则四棱锥的体积.故答案为：.

考点二旋转体的体积与表面积

【例2-1】（2022春·海南海口·高一海口一中校考期中）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____.

【答案】

【解析】挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，

圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，故几何体的表面积为.

故答案为：.

【例2-2】（2022春·重庆·高一统考期