专题14图形中的等腰三角形分类讨论（解析版）.pdfVIP

专专题题14图图形形中中的的等等腰腰三三⾓⾓形形分分类类讨讨论论（（解解析析版版））

专题14图形中的等腰三⾓形分类讨论

教学重难点

1.理解等腰三⾓形的性质和判定定理；

2.⽤等腰三⾓形的判定定理进⾏相关计算和证明；

3.初步体会等腰三⾓形中的分类讨论思想；

4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三⾓形；

5.培养学⽣进⾏独⽴思考，提⾼独⽴解决问题的⼒。

【备注】：

1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学⽣回顾学过的等腰三⾓形的性质，可以在⿊板上举例让学⽣画图；

2再根据第2个图引导学⽣总结出题⽬中经常出现的⼀些等腰三⾓形的题型；

3.和学⽣⼀起分析⼆次函数背景下等腰三⾓形的基本考点，为后⾯的例题讲解做好铺垫。建议时间5分钟左右。

等腰三⾓形的性质：

等腰三⾓形常见题型分类：

函数背景下的等腰三⾓形的考点分析：

1.求解相应函数的解析式；

2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；

3.根据点的位置进⾏等腰三⾓形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两⼤类；

4.根据点的位置和形成的等腰三⾓形⽴等式求解。

【备注】：

1.以下每题教法建议，请⽼师根据学⽣实际情况参考；

2.在讲解时：不宜采⽤灌输的⽅法，应采⽤启发、诱导的策略，并在读题时引导学⽣发现⼀些题⽬中的条件（相等的量、不变

的量、隐藏的量等等），使学⽣在复杂的背景下⾃⼰发现、领悟题⽬的意思；

3.可以根据各题的“参考教法”引导学⽣逐步解题，并采⽤讲练结合；注意边讲解边让学⽣计算，加强师⽣之间的互动性，让学

⽣参与到例题的分析中来；

4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学⽣分析题⽬，边讲边让学⽣书写，每个问题后⾯有答案提⽰；

5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类⽐式引导等等；

6.部分例题可以先让学⽣⾃⼰试⼀试，之后再结合学⽣做的情况讲评；

7.每个题⽬的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间⾜够的情况下讲解。

1.（2019青浦⼆模）如图1，已知扇形MON的半径为，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂⾜为点

D，C为线段OD上⼀点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.

（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）当△OAC为等腰三⾓形时，求x的值.

整体分析：

（1）先判断出∠ABM=∠DOM，进⽽判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论；

（2）先判断出BD=DM，进⽽得出，进⽽得出AE=，再判断出，即可得出结论；

（3）分三种情况利⽤勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．

详解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．

∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．

∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，

∴AC=AM．

（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．

∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．

∵DE∥AB，∴，∴AE=EM．∵OM=，∴AE=．

∵DE∥AB，∴，

∴．（）

（3）（i）当OA=OC时．∵．在Rt△ODM中，．

∵．解得，或（舍）．

（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．

（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞

90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．

即：当△OAC为等腰三⾓形时，x的值为．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三⾓形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三⾓形的性质，建⽴y关于x

的函数关系式是解答本题的关键．

图形背景下等腰三⾓形分类讨论的解题⽅法和策略：

1.先寻找题⽬中的条件：相等的⾓、相等的边、相似的三⾓形等；

2.根据题⽬中的条件求解相关线段的长度；

3.等腰三⾓形讨论中，分三步⾛：分类、画图、计算；

4.等腰讨论中，当不直接利⽤边长相等求解时，⼀般情况下通过“画底边上的⾼”辅助线结合三⾓⽐计算求解；

5.注意点的位置取舍答案；

6.根据题⽬条件，注意快速、正确画图，⽤好数形结合思想；

7.利⽤⼏何定理和性质或者代数⽅法建⽴⽅程求解都是常⽤⽅法。

1.（2019秋?青浦区校级⽉考）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BE是∠ABC的平分线，DE∥