备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题04用导数研究函数的最值(学生版+解析).docxVIP

专题4用导数研究函数的最值

函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现.

(一)求函数在闭区间上的最值

一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值．

求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a,b)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)；

(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．

【例1】（2024届山西省晋中市平遥县高三冲刺调研）已知函数.

(1)求函数在区间上的最小值；

(2)判断函数的零点个数，并证明.

【解析】（1）因为，

所以，令，，

当时，，

所以在上单调递减，且，

，

所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使

又当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

又因为，

，

所以函数在区间上的最小值为.

（2）函数在上有且仅有一个零点，证明如下：

函数，，则，

若，，

所以在区间上单调递增，又，

，

结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，

若，则，，则，

若，因为，所以，

综上，函数在有且仅有一个零点.

(二)求函数在非闭区间上的最值

求函数在非闭区间上的最值,一般通过研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一极值点,则该点处的极值一定是函数的最值.

【例2】（2024届青海省部分学校高三下学期协作考试模拟预测）已知函数（）.

(1)当时，求的最值；

(2)当时，证明：对任意的，，都有.

【解析】（1）当时，，，

易知在上单调递增.

因为，所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以有最小值，无最大值.

（2）证明：.令，则，

所以在上单调递增.

又，所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

即当时，在上单调递减，在上单调递增.

所以，.

令，则，当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

因为，，所以当时，，

即当时，，

所以当时，且，

即且，

即对任意的，，都有.

(三)含单参数的函数在闭区间上的最值问题

含单参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值．含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论．

【例3】（2024届广东省东莞中学、广州二中等高三下学期六校联考）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，求函数在区间上的最大值．

【解析】（1）的定义域为，

求导数，得，

若，则，此时在上单调递增，

若，则由得，当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

综上，当，的增区间为，无减区间，

若，减区间为，增区间为.

（2）由（1）知，当时，在区间上为增函数，

函数的最大值为，

当时，在区间上为减函数，

函数的最大值为，

当时，在区间上为减函数，在上为增函数，

函数的最大值为，

由，得，

若时，函数的最大值为，

若时，函数的最大值为，

综上，当时，函数的最大值为，

当时，函数的最大值为.

(四)把不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题

有些不等式恒成立或有解问题,常通过分离参数,转化为求函数的最值问题,常用结论是：若的值域为,则恒成立,有解.

【例4】（2024届湖南省岳阳市湘阴县第一中学高三下学期期中）已知函数（为常数），是函数的一个极值点.

(1)求实数的值；

(2)如果当时，不等式恒成立，求实数的最大值；

(3)求证：.

【解析】（1）由题意得：，

因为是函数的一个极值点，

所以，解得：，

则，

令，则，令，则，

所以是函数的一个极值点，

所以；

（2）由（1）得，定义域为，

所以问题等价于在上恒成立，

构造函数，，则，

令，，则，

所以时，，在递增，

所以，所以，

所以在递增，

所以，所以，

所以实数的最大值为2；

（3）由（2）得：时，，即，

整理得，

令，则，即，

时，，时，，

…，

时，，

将以上不等式两端分别相加得：

，

即.

(五)含双参数的函数的最值问题

含双参数的函数的最值一般与恒成立问题有关，通常是先通过函数的最值把问题两个参数的等式或不等式，再把其中一个参数看作自变量，构造函数求解．

【例5】（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，若，求b的最小值．

【解析】(1)当时，，，当时，，在R上单调递增；当时，令有，当时，，单调递减，当时，，单调递增.

(2)当时，由（1）若