湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学复习小题精练9 Word版含解析.docxVIP

长郡中学2025届高三数学复习

小题精练（9）

一、单选题

1．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

3．若，且，则（????）

A． B． C． D．

4．已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（????）

A． B． C． D．

5．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（????）

A．中位数不变

B．若，则数据的第75百分位数为7.5

C．平均数不变

D．方差变小

6．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，△ADE与△BCF都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（????）

A． B． C． D．

7．已知函数，则（????）

A． B．

C． D．

8．已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（????）

A． B．3 C． D．5

二、多选题

9．张同学从学校回家要经过2个路口，假设每个路口等可能遇到红灯或绿灯，每个路口遇到红绿灯相互独立，记事件A：“第1个路口遇到绿灯”，事件B：“第2个路口遇到绿灯”，则（????）

A． B．

C． D．

10．已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．的最小正周期为 B．为偶函数

C．的图象关于对称 D．的值域为

11．已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为，的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（????）

A．

B．

C．若F恰好为的中点，则直线的斜率为

D．直线过定点

三、填空题

12．设是等比数列an的前项和，若，，则=.

13．函数与函数公切线的斜率为.

14．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则，．

参考答案

1．B

【分析】利用复数的除法运算求出复数，由其几何意义判断在复平面内对应的点所在象限.

【详解】复数满足，则有，

在复平面内对应的点为，位于第二象限.

故选：B.

2．A

【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.

【详解】，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：A

3．D

【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算，再根据和角公式计算即可.

【详解】因为，

又，即，则，

所以，

故.

故选：D

4．A

【分析】利用给定条件，求出等差数列an的公差范围，进而求出及通项公式，再利用裂项相消法求和即得.

【详解】设等差数列an的公差为，由，得，则，

即，解得，而为整数，则为整数，

因此，，，

所以数列的前9项和为.

故选：A

5．B

【分析】利用中位数、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可.

【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A正确；

当时，数据按从小到大顺序排列：.

因为，所以该组数据的第75百分位数是第8个数8，故B错误；

由于，故,,,,,

原来的平均数为，

去掉后的平均数为，平均数不变，故C正确；

原来的方差为，

去掉后的方差为，

方差变小，故D正确.

故选：B.

6．D

【分析】如图，根据球的性质可得平面ABCD，根据中位线的性质和勾股定理可得且，分类讨论当O在线段上和O在线段的延长线上时2种情况，结合球的性质和表面积公式计算即可求解.

【详解】如图，连接AC，BD，设，

因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接，

则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，

根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M．

连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以，

连接EP，FQ，在与中，易知，

所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且．

设，球O的半径为R，连接OE，OA，

当O在线段上时，由球的性质可知，

易得，则，此时无解．

当O在线段的延长线上时，由球的性质可知，

，解得，所以，

所以球O的表面积，

故选：D．

【点睛】求解外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据一是球心到球面上各点的距离