备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题15导数中的新定义问题(学生版+解析).docxVIP

专题15导数中的新定义问题

新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革，为面对拔尖创新人才选拔培养等新要求，增加了新定义问题，函数与导数一直是高考中的热点与难点,是新定义问题的重要载体，本专题总结新定义问题的特点及导数中新定义问题的常见类型，供大家参考.

新定义问题的特点及求解策略

1.新定义试题通过新定义一个数学对象或数学运算，以此为基础为学生搭建思维平台，设置试题.该题型形式新颖，考查功能显著，主要表现在四个方面：通过新定义创设数学新语境和话语体系；通过新情境搭建试题框架，创设解题条件；通过新设问设置思维梯度，逐步深入，准确区分不同层次的学生；通过解题过程展现学生数学思维和探究过程，实现对分析、推理、判断、论述等关键能力的考查.

2.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的.

3.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

【例1】（2024届江苏省扬州中学高三下学期全真模拟）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似为．

(1)求实数a，b的值；

(2)当时，试比较与的大小，并证明；

(3)已知正项数列满足：，，求证：．

【解析】（1）由题意得，，

，故，，

解得，.

（2）由上可得，要比较与的??，

，只需比较1与的??，

令，，

所以，从而可得在上单调递增，

所以，即，所以.

（3）设，，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

故，即，当且仅当时等号成立；

由题意知，令，，

故该函数在上递减，故可得，即，可得；

一方面：由（2）可得，

又因为，

所以可得，即，即，即，

故，即，所以.

另一方面：要证明，

两边同时除以，原式

令，

由基本不等式，

故，所以在单调递增，

所以，得证.

【例2】（2024届上海市华东师范大学附中学高三下学期数学测验）已知函数，如果存在常数，对任意满足的实数，其中，都有不等式恒成立，则称函数是“绝对差有界函数”

(1)函数是“绝对差有界函数”，求常数的取值范围；

(2)对于函数，存在常数，对任意的，有恒成立，求证：函数为“绝对差有界函数”

(3)判断函数是不是“绝对差有界函数”？说明理由

【解析】（1），，，，

即当，单调递增；当，单调递减.

所以,

单调递增时，，单调递减时，.

且当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0，

所以.所以·

（2）成立，则可取，

所以函数为“绝对差有界函数”

（3），

则有，

所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分

满足，

所以函数不是的“绝对差有界函数”.

(二)具有高等数学背景的新定义问题

导数在高等数学中有着广泛的应用，常见的如函数的拐点、凸凹性、曲线的曲率、拉格朗日中值定理等.

【例3】（2024届湖北省黄冈中学高三二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶?二阶导数）

(1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？

(2)若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；

(3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明.

【解析】（1）抛物线的焦点到准线的距离为3，，

即抛物线方程为，即，则，，

又抛物线在点处的曲率，则，

即在该抛物线上点处的曲率为；

（2），

在上为奇函数，又在上为减函数.

对于恒成立等价于对于恒成立.

又因为两个函数都是偶函数，

记，，则曲线恒在曲线上方，

，，又因为，

所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即，

又因为，，

，，所以，解得：，

因此，的取值范围为；

（3）由题可得，所以曲线在点处的切线方程是，

即，令，得，即，

显然，，

由，知，同理，

故，从而，

设，即，所以数列是等比数列，

故，即，从而，

所以，