备战2025年高考数学压轴题训练专题07一元函数的导数及其应用(利用导函数研究不等式恒成立问题)(全题型压轴题)(学生版+解析).docxVIP

专题07一元函数的导数及其应用

（利用导函数研究不等式恒成立问题）

目录

TOC\o1-1\h\u一、已知函数在区间上单调 1

二、变量分离法 2

三、最值法 4

四、变更主元法 5

五、双变量问题型 6

一、已知函数在区间上单调

1．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）函数

(1)当时，求的单调区间；

(2)若在上为单调函数，求的取值范围

2．（23-24高二下·四川自贡·期末）已知函数．

(1)若的单调递减区间为，求实数的值；

(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．

3．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，，．

(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

4．（23-24高二·全国·单元测试）已知函数（为自然数对数的底数）.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.

二、变量分离法

1．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，

(1)若对于任意的，都有成立，求的取值范围；

(2)若存在，使得成立，求的取值范围；

(3)若函数，若存在，使得成立，求的取值范围.

2．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．

3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数．

(1)求的最小值；

(2)若对所有都有，求实数的取值范围；

4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．

4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数的最小值为，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

四、变更主元法

1．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数）

(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；

(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；

2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知

(1)在上恒成立，求x的范围．

3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数.

(1)，不等式恒成立，求实数的范围；

4．（2023高一·上海·专题练习）已知

(1)在上恒成立，求的范围．

五、双变量问题型

1．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．

2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．

(1)当时，求函数的最小值；

(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．

3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．

4．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数（），（）．

(1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值；

(2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．

专题07一元函数的导数及其应用

（利用导函数研究不等式恒成立问题）

目录

TOC\o1-1\h\u一、已知函数在区间上单调 1

二、变量分离法 4

三、最值法 9

四、变更主元法 13

五、双变量问题型 15

一、已知函数在区间上单调

1．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）函数

(1)当时，求的单调区间；

(2)若在上为单调函数，求的取值范围

【答案】(1)增区间为和，减区间为

(2)

【优尖升-分析】

（1）先求出函数的导数，解不等式求出单调区间即可；（2）将问题转化为在恒成立，利用二次函数的图象与性质即可求解.

【详解】（1）当时，,

令，得或，所以的增区间为，，

令，得，所以的减区间为

故当时，的增区间为和，减区间为.

（2）由题可得，要使在上为单调函数，

则在恒成立，

则，即，解得：,

所以的取值范围为

2．（23-24高二下·四川自贡·期末）已知函数．

(1)若的单调递减区间为，求实数的值；

(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【优尖升-分析】

（1）求出函数的导数，根据的单调递减区间为，可得是的两根，即可求得答案；

（2）由函数在单调递减，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，从而求得答案.

【详解】（1）由题意得，

因为的单调递减区间为，即的解集为，

故是的两根，即，

当时，，由，解得，

等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意，

故.

（2）函数在单调递减，即在上恒成立，

即在上恒成立，此时，

即在上恒成立，而，故,

经验证当时,即，

等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意，

故.

3．