备战2025年高考数学压轴题训练专题09一元函数的导数及其应用(利用导数研究函数零点(方程的根)问题)(全题型压轴题)(学生版+解析).docxVIP

专题09一元函数的导数及其应用

（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）

目录

TOC\o1-1\h\u一、判断零点（根）的个数 1

二、已知零点（根）的个数求参数 3

三、已知零点（根）的个数求代数式的值 4

一、判断零点（根）的个数

1．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（????）

A．1 B．2 C．1或2 D．1或3

2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）函数，则方程解的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，讨论函数的零点的个数.

二、已知零点（根）的个数求参数

1．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（???）

A． B． C． D．

4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是.

5．（2024·陕西渭南·一模）已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是.

6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在上有两个不同的零点，求的取值范围.

7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．

(1)讨论的最值；

(2)若函数有2个零点，求实数a的取值范围．

8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．

(1)求函数的最小值；

(2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围．

三、已知零点（根）的个数求代数式的值

1．（2023·四川成都·三模）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

2．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知，分别是函数和的零点，且，，则．

3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为．

4．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e的零点，则．

5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的零点个数；

(2)若有两个零点，证明：两个零点之和大于4．

专题09一元函数的导数及其应用

（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）

目录

TOC\o1-1\h\u一、判断零点（根）的个数 1

二、已知零点（根）的个数求参数 9

三、已知零点（根）的个数求代数式的值 18

一、判断零点（根）的个数

1．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（????）

A．1 B．2 C．1或2 D．1或3

【答案】A

【优尖升-分析】令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.

【详解】，

令，则，

则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，

令，

当时，，则，

所以函数在上单调递增，且，

当时，，

当时，，则，

所以函数在上单调递增，且，

又当时，当时，，

作出函数的大致图象如图所示，

由图可知函数的图象有且仅有一个交点，

所以函数零点的个数为个.

故选：A.

2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）函数，则方程解的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【优尖升-分析】求定义域，求导，得到函数单调性和极值情况，且当时，，画出函数图象，得到与的图像有2个交点，从而求出答案.

【详解】，函数定义域为，

，

令，解得或；令，可得或，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递减，在上单调递增，

且当时，；当时，取得极大值；当时，取得极小值；

因此，函数的大致图像如图所示，

因为，所以与的图像有2个交点，

可知方程有2个解.

故选：C

3．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，讨论函数的零点的个数.

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，按的取值分类讨论求出函数的单调区间.

（2）按分类讨论，并结合函数单调性及零点存在性定理求解即得.

【详解】（1）函数定义域为，求导得，

若，当时，，当时，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增；

若，由，得或，

①当时，，则函数在上单调递增；

②当时，，当或时，，当时，，

因此函数在上单调递增，在上单调递减；

③当时，，当