第14章 因子分析1统计学原理课件.ppt

第14章;因子分析;因子分析的概念;1引言;1引言;问题一：某公司对100名招聘人员的知识和能力进行测试，出了50道题的试卷，其内容包括的面较广，但总的来讲可归纳为六个方面：语言表达能力、逻辑思维能力、判断事物的敏捷和果断程度、思想修养、兴趣爱好、生活常识等，我们将每一个方面称为因子.;问题二：在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个有24个指标构成的评价体系，评价百货商场的24个方面的优劣。;问题三，服装剪裁问题;因子分析的基本思想是通过变量的相关系数矩阵内部结构的研究，找出能控制所有变量的少数几个随机变量去描述多个变量之间的相关关系，但在这里，这少数几个随机变量是不可观测的，通常称为因子。然后根据相关性的大小把变量分组，使得同组内的变量之间相关性较高，但不同组的变量相关性较低.;注：

因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际意义；

主成分分析分析与因子分析也有不同，主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。

主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分；

因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。;2数学模型及统计意义;简记为;其中X是可实测的p个指标所构成p维随机向量，F是不可观测的向量，F称为X的公共因子或潜因子；aij称为因子载荷是第i个变量在第j个公共因子上的负荷，如果把变量Xi看成m维因子空间中的一个向量，则表示Xi在坐标轴Fj上的投影，矩阵A称为因子载荷矩阵；ε称为X的特殊因子，通常理论上要求的协方差阵是对角阵，其中包括了随机误差.;此时X1,X2,…,Xn表示n个样品.;2）因子载荷和变量共同度及其统计意义;所以上式可写成：;(2)变量共同度的统计意义;共同度hi2:它刻划全部公共因子对变量Xi的总方差所作的贡献，越接近1，说明由原始变量空间转为因子空间转化的性质越好，保留原来信息量多；其值越小，说明公共因子对Xi影响很小，主要由特殊因子来描述，因此是Xi方差的重要组成部分。;3)公共因子Fj的方差贡献的统计意义;3因子载荷阵的估计方法;上边给出的Σ表达式是精确的，但实际应用时总是希望公共因子个数小于变量的个数即mp，当最后p-m个特征根较小时，通常是略去最后p-m项对Σ的贡献，于是得到;2）考虑特殊因子;4因子得分;由于因子得分函数中方程的个数m小于变量的个数p，因此不能精确计算出因子得分，只能对因子得分进行估计。这里用回归法进行估计。;由因子载荷的意义知：;其中;于是;建立了因子分析模型的目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释.由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化。有三种主要的正交旋转法。四次方最大法、方差最大法和等量最大法。

;;5因子旋转;因子载荷旋转：用一个正交阵右乘A，使旋转后的因子载荷阵结构简化，便于对公共因子进行解释。有三种主要的正交旋转法:四次方最大法、方差最大法和等量最大法。本节只介绍常用的方差最大正交旋转法。;然后对规格化后的矩阵，为书写方便仍记为A，施行方差最大正交旋转。;这样做的目的是使因子载荷阵A的结构简化，为此，正交旋转的角度φ必须满足：旋转后所得到因子载荷阵的总方差V达到最大值，即;经过计算，其旋转角度φ可按下面公式求得：;根据tg(4φ)的分式的分子和分母取值的正负号来确定角φ的取值范围如下表：;如果公共因子有m个，则需逐次对每两个公共因子进行上述旋转，必须满足使旋转后所得到的因子载荷阵的总方差达到最大值，即;A经过Tkj旋转(变换)后，矩阵B=ATkj，其元素为;其中旋转角度φ仍按下面公式求得;从B(1)出发进行第二轮旋转循环，旋转完毕得B(2);δ为所要求的精度。在实际应用中，经过若干次旋转之后，若相对方差改变不大，则停止旋转，最后得;6计算步骤及实例;第一步将原始数据标准化，为书写方便仍记为xij。;第三步求R的特征根及相应的单位特征向量，分别记为和，记;第四步对A进行方差最大正交旋转。;例题;第三步求R的特征值和特征向量。;由于前三个特征值的累计贡献率已达89.564%。所以取前三个特征值所对应的特征向量如下：;第四步建立因子载荷阵。;第五步对因子载荷阵实行方差最大旋转，旋转后的矩阵如下：;从上表可见，每个因子只有少数几个指标的