2025年湘教版九年级下册数学第1章专题训练4 二次函数与几何综合.pptx

第1章二次函数

专题训练4

二次函数与几何综合;1;宽高法(铅垂法)：S＝(宽×高)÷2

重点：什么是宽？什么是高？如何确定？(横平竖直；改斜归正)

定义：过三角形的一个顶点作y轴的平行线(x轴的垂线)与这个顶点的对边(或延长线)相交，交点到这点的距离(纵坐标的差的绝对值)叫作该三角形的“高”(铅垂高)；另外两个顶点的水平距离(横坐标的差的绝对值)叫作该三角形的“宽”(水平宽).;注：一般来讲：过动点作y轴的平行线与其对边或延长线相交．

具体操作时有如图所示的三种情形：;1.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D，对称轴交x轴于点E.;(1)求抛物线的表达式、对称轴及顶点D的坐标；;(2)求四边形ABCD的面积．;(3)如图②，过E点的直线l将四边形ABCD的面积分成2∶7两部分，求直线l的表达式；;(4)如图③，直线AC下方的抛物线上是否存在一点P，使得△ACP的面积最大？若存在，求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；;(5)如图④，直线AC下方的抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABCP的面积最大？若存在，求四边形ABCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；;(6)如图⑤，抛物线上是否存在点P(异于点C)，使得S△ABP＝S△ABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.;思路导航

相似三角形的存在性问题解法的一般步骤，分三步走：

第一步：寻找分类标准(一般通过“角”)；

第二步：列方程(一般通过“对应边成比例”)；

第三步：解方程并验根(除重、查漏)．;2．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D.

(1)求抛物线的表达式、对称轴及顶点D的坐标；;(2)如图②，点P在抛物线上，直线AP与y轴交于点F，若△AOF与△BOC全等，求出点P的坐标；;解：∵抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3，

∴B(1，0)．∴OB＝1，

∵△AOF与△BOC全等，AO＝OC＝3，∠AOF＝∠BOC＝90°，

∴OF＝OB＝1.

∴点F的坐标为(0，1)或(0，－1)．;(3)如图③，点P在抛物线上，直线AP与y轴交于点T，若tan∠PAB＝2∶3，求出点P的坐标；;(4)如图④，在线段AC上是否存在点M，使得△AOM与△ABC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；;(5)如图⑤，第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作PQ∥y轴，PQ与AC相交于点Q，请问抛物线上是否存在点P，使得△PCQ与△ABC相似，若存在，

求出点P的坐标；若不存在，请说明

理由；;解：存在．

设直线AC的表达式为y＝k4x－3，

把A(－3，0)的坐标代入，得－3k4－3＝0，解得k4＝－1.

∴直线AC的表达式为y＝－x－3.

设点P的坐标为(x，x2＋2x－3)，

则点Q的坐标为(x，－x－3)，

则PQ＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x，;(6)如图⑥，第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作PF⊥x轴于点F，PF与AC相交于点G.请问抛物线上是否存在点P，使得△AFG与△CPG相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由．;解：存在．

由(5)可知直线AC的表达式为y＝－x－3，

设点P的坐标为(m，m2＋2m－3)，则点G的坐标为(m，－m－3)，则PG＝－m－3－(m2＋2m－3)＝－m2－3m，

易得△AFG是等腰直角三角形，∠PGC＝45°，

∴当∠GPC＝90°或∠GCP＝90°时，△PCG是等腰直角三角形，此时△AFG和△PCG一定相似．;当∠GPC＝90°时，CP＝－m，PG＝PC，∴－m＝－m2－3m，解得m＝0(舍去)或m＝－2，∴点P的坐标为(－2，－3)；

当∠GCP＝90°时，过点C作CS⊥PG于点S，易得SC＝SP，

∵CS＝－m，SP＝－3－(m2＋2m－3)＝－m2－2m，

∴－m＝－m2－2m，解得m＝0(舍去)或m＝－1.

∴点P的坐标为(－1，－4)．

综上所述，点P的坐标为(－2，－3)或(－1，－4)．