2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行线间距离- 高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）.docxVIP

2.3.3点到直线的距离公式

2.3.4两条平行线间距离

【学习目标】

课程标准

学科素养

1.了解点到直线距离公式的推导方法．(重点)

2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点)

3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点)

1、直观想象

2、数学运算

3、数形结合

【自主学习】

1.点到直线的距离

(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与之间的距离，就是该点到直线的距离．

(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．

2.两平行直线间的距离

(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．

(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．

思考1：在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？

思考2：在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？

【小试牛刀】

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.()

(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.()

(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为eq\f(|m－2n|,\r(2)).()

2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()

A．1B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)

3.两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为()

A．3B．2C．1D．eq\f(1,2)

【经典例题】

题型一点到直线的距离

注意：应用点到直线的距离公式应注意的三个问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．

(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．

例1求点P(3，－2)到下列直线的距离：

(1)y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.

[跟踪训练]1已知点(a，2)(a0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝()

A.eq\r(2) B．2－eq\r(2) C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)＋1

题型二两平行线间的距离

注意：求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

例2两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．

例3直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1到l2的距离为5，求l1，l2的方程．

[跟踪训练]2求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．

题型三距离公式的综合应用

例4已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．

[跟踪训练]3求过点(3，5)的所有直线中，距原点最远的直线方程．

【当堂达标】

1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于()

A．7B．5C．3D．2

2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于()

A.eq\f(7,5) B.eq\f(7,15) C.eq\f(4,15) D.eq\f(2,3)

3．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为()

A．5eq\r(2) B．2eq\r(5) C．5eq\r(10) D．10eq\r(5)

4．已知两点A(－3，－2)和B(－1，4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，则实数a为________．

5．已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．

【参考答案】

【自主学习】

垂足eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))

要求直线的方程应化为一般