专题17 圆锥曲线的综合应用（3知识点 6重难点 5方法技巧 3易错易混）（解析版）-2025年高考数学一轮复习知识清单.docx

专题17圆锥曲线的综合应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

知识点1直线与椭圆的位置关系

1、直线与椭圆的位置判断

设直线方程为，椭圆方程为

联立消去y得一个关于x的一元二次方程

①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；

②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

2、直线与椭圆相交的弦长公式

（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．

（2）求弦长的方法

=1\*GB3①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．

=2\*GB3②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则弦长公式为：

知识点2直线与双曲线的位置关系

1、直线与双曲线的位置关系判断

将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程

，

（1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；

（2）当，即，设该一元二次方程的判别式为，

若，直线与双曲线相交，有两个公共点；

若，直线与双曲线相切，有一个公共点；

若，直线与双曲线相离，没有公共点；

注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.

2、直线与双曲线弦长求法

若直线与双曲线（，）交于，两点，

则或（）．（具体同椭圆相同）

知识点3直线与抛物线的位置关系

1、直线与抛物线的位置关系有三种情况

相交（有两个公共点或一个公共点）；

相切（有一个公共点）；

相离（没有公共点）.

2、以抛物线与直线的位置关系为例：

（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，

若，直线与抛物线有两个交点；

若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；

若，直线与抛物线没有交点.

（2）直线的斜率存在.

设直线，抛物线，

直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，

即二次方程（或）解的个数.

①若，

则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；

当时，直线与抛物线相切，有个公共点；

当时，直线与抛物线相离，无公共点.

②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.

3、直线与抛物线相交弦长问题

（1）一般弦长

设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为.

=1\*GB3①弦长公式：（为直线的斜率，且）.

=2\*GB3②,

推导：由题意，知，①②

由①-②，得，故，即.

=3\*GB3③直线的方程为.

（2）焦点弦长

如图，是抛物线过焦点的一条弦，

设，，的中点，

过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，

根据抛物线的定义有，，

故.

又因为是梯形的中位线，所以，

从而有下列结论；

=1\*GB3①以为直径的圆必与准线相切.

=2\*GB3②(焦点弦长与中点关系)

=3\*GB3③.

=4\*GB3④若直线的倾斜角为，则.

=5\*GB3⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.

=6\*GB3⑥为定值.

重难点01求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法

1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．

2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x，y?＝0，,g?x，y?＝0；))③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．

【典例1】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知离心率为的椭圆的右焦点为，点为椭圆上第一象限内的一点，满足垂直于轴，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线的斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线过定点.

【答案】(1)；(2)证明见解析

【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，点在椭圆上，

代入椭圆方程，有，解得，

且，可得

所以椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，由

消去，整理得，

因为直线交椭圆于两点，所以，

设Ax1,

因为直线和直线关于直线对称，

所以kAF

所以，

所以，

解得.

所以直线的方程为，

所以直线过定点.

【典例2】（23-24高三下·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上．

(1)求双曲线的方程；

(2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点．

【答案】(1);(2)证明见解析

【解析】（