第03讲 圆的方程（八大题型）（讲义）（含答案解析）.docx

第03讲圆的方程

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：圆的定义和圆的方程 4

知识点2：点与圆的位置关系判断 5

题型一：求圆多种方程的形式 5

题型二：直线系方程和圆系方程 8

题型三：与圆有关的轨迹问题 11

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 17

题型五：点与圆的位置关系判断 19

题型六：数形结合思想的应用 21

题型七：与圆有关的对称问题 25

题型八：圆过定点问题 28

04真题练习·命题洞见 31

05课本典例·高考素材 34

06易错分析·答题模板 36

易错点：忽视圆的一般方程成立的条件 36

答题模板：求圆的方程 37

考点要求

考题统计

考情分析

(1)圆的方程

(2)点与圆的位置关系

2024年北京卷第3题，5分

2023年乙卷（文）第11题，5分

2023年上海卷第7题，5分

2022年甲卷（文）第14题，5分

2022年乙卷（文）第15题，5分

高考对圆的方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程．

复习目标：

（1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．

（2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．

知识点1：圆的定义和圆的方程

1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．

2、圆的四种方程

（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为

（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径

（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是

（4）圆的参数方程：

①的参数方程为（为参数）；

②的参数方程为（为参数）．

【诊断自测】已知点，，，则外接圆的方程是（????）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题

得是直角三角形，且，

所以圆的半径为，圆心为，

所以外接圆的方程为.

故选：B.

知识点2：点与圆的位置关系判断

（1）点与圆的位置关系：

①点P在圆外；

②点P在圆上；

③点P在圆内．

（2）点与圆的位置关系：

①点P在圆外；

②点P在圆上；

③点P在圆内．

【诊断自测】（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，

故，

又由圆的一般方程，

可得，即，

即或，

所以实数的范围为.

故选：C.

题型一：求圆多种方程的形式

【典例1-1】已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（????）

A． B．C． D．

【答案】D

【解析】由题意，设（），圆的半径为，

，解得，

所以圆心，半径，

所以圆的方程为.

故选：D.

【典例1-2】（2024·高三·北京·开学考试）圆心为，且与轴相切的圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，圆心坐标为，可知AB错误；

设圆心半径为，且圆心到轴的距离为，

则由圆与轴相切可得，

故圆的方程为：.

故选：C.

【方法技巧】

（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．

（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．

【变式1-1】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由圆，得到圆心，由题意知O、A、B、P四点共圆，的外接圆即四边形的外接圆，又，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为.故选：A

【变式1-2】圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为．

【答案】

【解析】圆经过点和，，AB中点为，

所以线段AB的垂直平分线的方程是．

联立方程组，解得．

所以，圆心坐标为，半径，

所以，此圆的标准方程是．

故答案为：.

【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与均与相切，点在上，则的方程为.

【答案】

【解析】由于直线与平行，且均与相切，

两直线之间的距离为圆的直径，即，

又在上，所以为切点，

故过且与垂直的直线方程为，

联立，

所以与相切于点，

故圆心为与的中点，即圆心为0，1，

故圆的方程为，

故答案为：

【变式1-4】与直线和圆都相切的半径