1.1.1 空间向量及其运算（教学课件）- 高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

第一章空间向量与立体几何

1.1.1空间向量及其运算

人教B版(2019)

课标要点

核心素养

1.理解空间向量的概念

数学抽象

2.掌握空间向量的加法运算、线性运算

数学运算

3.掌握空间向量的数量积运算

数学运算

1.空间向量的概念

空间向量的定义：

空间中既有大小又有方向的量称为向量(简称为向量),向量的大小也称为向量的模(或长度).

表示方法：

用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.始点为A终点为B的向量，记为AB,向量的模用|AB|表示.通常用加粗的斜体小写字母如a,b,c或用带箭头的小写字母如a,b,c来表示向量.向量a的模用al或la|来表示.

零向量：

始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的.零向量用0或0表示.零向量的模为0,即|0|=0.

单位向量：

模等于1的向量称为单位向量.因此，e是单位向量的充要条件是|e|=1.

特别地，如图所示，在平面四边形ABCD中，“AB=DC”是

“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件.

DC

AB

相等向量：

大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.向量a和b相等，记作a=b.

如图所示，对于平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁来说，因为

AA₁,BB₁,CC₁,DD₁互相平行而且长度都相等，因此AA₁=BB₁

=CC₁=DD₁.

平行向量或共线向量：

如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.

两个向量a和b平行，记作a//b.两个向量平行也称为两个向量共线.

共面向量：

一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段

通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.

图中，虽然直线AA₁与直线B₁C₁异面，但向量AA₁,B₁C₁,DD₁

是共面的，因为B₁C₁经过平移后可以到达AD的位置，而AA₁,AD,

DD₁都在平面ADD₁A₁内；向量AA₁,AB,AD不共面，因为这三个向量有一个公共点A,而A,B,D都在平面ABCD内，点A₁在平面

2:空间向量的加法运算

给定两个平面向量a,b,在该平面内任取一点A,作AB=

a,BC=b,作出向量AC,则AC是向量a与b的和(也称AC为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作a+b,因此AB+BC=

AC.

当平面向量a与b不共线时，a,b,a+b正好能构成一个三角

形，如图所示，因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法

的三角形法则.

因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量的和，除了A点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全一样.特别地，向量加法的三角形法则在空间中也成立.

例如，如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因为

A₁D₁=B₁C₁,所以AA₁+B₁C₁=AA₁+A₁D₁=AD₁.

空间向量的加法也可用平行四边形法则：任意给定两个不共线

的向量a,b,在空间中任取一点A,作AB=a,AC=b,以AB,AC

为邻边作一个平行四边形ABDC,作出向量AD,则AD=AB+AC.

例如，如图的长方体中，AAi+B₁C₁=AA₁+AD=AD₁

空间向量加法的交换律和结合律

对于任意的向量a,b,c,都有

交换律：a+b=b+a;

结合律：a+(b+c)=(a+b)+c

理解，其中AB=a,BC=b,CO=c,而且AC=AB+BC=a+b,

BO=BC+CO=b+c,所以AO=AC+CO=(a+b)+c,AO=

AB+BO=a+(b+c).

因此(a+b)+c=a+(b+c).

空间向量加法的结合律可以借助如图所示的三棱锥0-ABC来

从图中也可以看出，为了得到有限个空间向量的和，只需将

这些空间向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量.例

如，AB+BC+CO=A0.

例1如图所示是一个平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁,化简

DA+DC+DD₁.

C₁

AB₁

C

B

D₁

A

D

A

解：因为底面ABCD是一个平行四边形，

所以DA+DC=DB,

又因为DD₁=BB₁,

所以DA+DC+DD₁=DB+BB₁=DB