1.2.3 直线与平面的夹角（教学课件）- 高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

第一章空间向量与立体几何

1.2.3直线与平面的夹角

人教B版(2019)

课标要点

核心素养

1.理解直线与平面的夹角

数学抽象

2.掌握空间向量求直线与平面的夹角

数学运算

情境与问题

日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象.例如，如图(1)所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一

定角度；如图(2)所示，地球仪的地轴(即旋转轴)与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面成一定角度.那么,怎样来刻画直线与平面所成的角呢?

如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成

的角为90°;如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为0°.

如图所示，设l是平面α的一条斜线，m是平面α内的任意一

条直线.能否将m与l所成的角定义为直线l与平面α所成的角?如果不能，该怎样规定直线l与平面α所成的角?

图中，当m的位置不同时，m与1所成角的大小可能也不同，

因此不能将其定义为直线1与平面α所成的角.

堂试与发现

斜线与平面所成的角

平面的一条斜线在平面内的射影是唯—确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的角，称为这条斜线与平面所成的角.

如图所示，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，

AB是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA′就是直线AB与

平面α所成的角.

尝试与发现

如图所示，设A0是平面α的一条斜线段，0为斜足，A′为

A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，AM1

OM.记∠AOA=θ₁,∠AOM=θ₂,∠AOM=0.

(1)从直观上判断θ₁与θ的大小关系；

(2)说明AM⊥OM是否成立探究θ1,θ₂,θ三者之间的等量关系.

所以△AMO也是直角三角形.

如果设0A=1,则在Rt△AA0中，0A′=0Acosθ₁=cosθ₁,因此在Rt△OMA′中，OM=0Acosθ₂=cosθ₁cosθ₂;

另一方面，在Rt△AMO中，有OM=0Acosθ=cosθ.

因此cosθ=cosθ₁cosθ₂.

图中,注意到AAIα,所以△AAO,△AAM都是直角三角形,而且AM是

AM在平面α内的射影.因此，根据AM⊥OM与三垂线定理可知AM⊥OM,

一般地，因为0≤cosθ₂≤1,所以由上式可知cosθ≤cosθ₁,因为θ₁和θ都

是锐角，所以可得θ₁≤0.这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.

空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角.

0

例1如图所示，已知∠BAC在平面α内，过该角的顶点A

引平面α的斜线AP,且使∠PAB=∠PAC,求证：斜线AP在

平面α内的射影平分∠BAC.

P

B

M

C

A

a

证明：设点P在平面α内的射影为点M,

则AM为AP在平面α内的射影.

根据前面的结论有cos∠PAB=cos∠PAMcos∠BAM,

cos∠PAC=cOs∠PAMcos∠CAM,

由∠PAB=∠PAC可得，cos∠BAM=cos∠CAM,因此∠BAM=∠CAM,即AM平分∠BAC.

尝试与发现

如图所示，P是平面α外一点，P在平面α内的射影为P.过P作平面α的斜线段PA₁,PA₂,且A₁,A₂均为斜足，设PA₁,PA₂与平面α所成角分别为θ₁,θ₂.试判断PA₁=PA₂是θ₁=θ₂的什么条件，PA₁=PA₂是θ₁=θ₂的什么条件。

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注意到PP′⊥α,所以△PPA₁与△PPA₂都是直角三角形

从而PP′=PA₁sinθ₁=PA₂sinθ₂,再根据θ₁,θ₂都是锐角可知PA₁=PA₂是θ₁=θ₂的充要条件；类似地，因为PP=PA₁tanθ₁=PA₂tanθ₂,所以PA₁=PA₂也是θ₁=θ2的充要条件.

经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等.

空间向量求直线与平面的夹角

如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线1与

平面α所成角的大小为θ,则或,特别

地cosθ=sin〈v,n〉或sinθ=|cosv,n|.

(1)(2)

例