2025年高考数学重点题型归纳精讲精练3.2导数研究函数的单调性（新高考地区）（解析版） (2).docx

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3.2导数研究函数的单调性

【题型解读】

【知识储备】

1.函数的导数与单调性的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导，则

(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．

eq\o([常用结论])

1．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．

【题型精讲】

【题型一不含参函数的单调性】

必备技巧利用导数求函数单调区间的三种方法

1．当不等式f′(x)0或f′(x)0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)0或f′(x)0求出单调区间．

2．当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数的实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．

3．不等式f′(x)0或f′(x)0及方程f′(x)＝0均不可解时，根据f′(x)的结构特征，构造新函数g(x)，通过研究g(x)的单调性来确定f′(x)的符号，从而确定f(x)的单调性．

例1（2024·山东济南历城二中高三月考）（1）函数f(x)＝x·ex－ex＋1的递增区间是()

A．(－∞，e) B．(1，e)

C．(e，＋∞) D．(e－1，＋∞)

（2）已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)的单调递减区间是________．

（3）(2024·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是______________________．

【解析】（1）由f(x)＝x·ex－ex＋1，

得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，

令f′(x)0，解得xe－1，

所以函数f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)．

（2）因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，

所以f′(x)＝lnx＋1(x0)，

当f′(x)0时，解得0xeq\f(1,e)，即函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))).

（3）f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.

令f′(x)＝xcosx0，

则其在区间(－π，π)上的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，

即f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

例2（2024·河南高三月考）已知，则函数的单调减区间为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可知，，且的定义域为，

则，

令，则，，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

则的最大值为：，

故恒成立，故在上恒成立，

所以在上单调递减，即函数的单调减区间为.

故选：D.

【题型精练】

1．（2024·天津·崇化中学期中）函数的递增区间是（???????）

A． B．

C．， D．

【答案】A

【解析】由题意，函数，可得，

令，即，解得，所以函数的递增区间是.故选：A.

2.（2024·石嘴山市第三中学期末）函数的单调递减区间为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数的定义域是，，令，解得：，

故函数在递减，故选：C．

3.（2024·重庆市育才中学高三月考）函数的递增区间为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，定义域为，

则，

令，则，所以，

所以函数的单调递增区间为.

故选：C

【题型二含参函数的单调性】

例3（2024·山东青岛高三期末节选）已知函数，讨论的单调性；

【答案】答案见解析

【解析】的定义域为

当时，在上恒成立，故在上单调递减

当时，fa=0，且时，，时，

即在上单调递增，在上单调递减

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减

例4（2024·天津市南开中学模考）已知函数，记的导函数为，讨论的单调性；

【答案】(1)答案见解析

【解析】由已知可得，故可得．

当时，，故在单调递增；

当时，由，解得