2025年高考数学重点题型归纳精讲精练3.3导数研究函数的极值、最值（新高考地区）（解析版）.docx

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3.3导数研究函数的极值、最值

【题型解读】

【题型一求函数的极值】

1.（2024·山东济南历城二中高三月考）已知，则

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值

【答案】C

【解析】由题意，当时，，递增，时，，递减，是函数的极大值，也是最大值，函数无极小值．故选：C．

2.（2024·河南高三月考）函数的极值点的个数是（???????）

A． B． C． D．无数个

【答案】A

【解析】由题，，故无极值点故选：A

3．（2024·天津·崇化中学期中）已知函数，则（）

A．在上为增函数 B．在上为减函数

C．在上有极大值 D．在上有极小值

【答案】A

【解析】，，令，则，

因此在上，，单减；在上，，单增；

又，因此，即，

故在及上，单增，无极值，故选：A

4.（2024·石嘴山市第三中学期末）已知函数，则的极大值为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

函数的定义域为，

,

令，解得或，

故

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以的极大值为，

故选：B.

5.（2024·重庆市育才中学高三月考）设函数，则（）

A．有极大值，且有最大值

B．有极小值，但无最小值

C．若方程恰有一个实根，则

D．若方程恰有三个实根，则

【答案】D

【解析】由题意，

∴当或时，，当时，，

在和上递增，在上递减．

极大值＝，极小值＝，

或时，，时，，时，，

∴也是最小值．无最大值．

作出的图象，和直线，如图，

当或时，有一个根，当时，有三个根．

故选：D．

【题型二已知函数极值求参】

1.（2024·山东青岛高三期末节选）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数，导函数.

因为在上既有极大值又有极小值，所以在内应有两个不同的异号实数根．

，解得：，实数a的取值范围.故选：C．

2.（2024·天津市南开中学模考）设函数，若的极小值为，则（）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】由已知得：，令，有，且上递减，上递增，∴的极小值为，即，得.故选：B.

3．（2024·天津市南开中学月考）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（????????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知：，若函数在上存在唯一极值点，

则，即，解得.故选：B.

4.（2024·安徽省江淮名校期末）若是函数的极值点，则（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为函数，

所以，

因为是函数的极值点，

所以，即，

两边取以e为底的对数得：，

即，

令，即，

因为，

所以在上递增，

所以，即，

故选：C

5．（2024·河北张家口市·高三三模）已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由得，令，

若，则，此时在单调递增，在单调递减，这与是的极小值点矛盾，故舍去.

若，可知是的极大值点，故不符合题意.

若，，此时在单调递增，在单调递减，可知是的极大值点，故不符合题意.

当，，，此时在单调递增，在单调递减，可知是的极小值点，符合题意.

若，在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.

综上可知：故选：B

【题型三求函数的最值】

1.（2024·河南高三期末）函数的最大值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数的定义域为，则令，解得，

当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减，

则当时，函数有最大值，为，故选:D.

2.（2024·广东汕尾·高三期末）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．

【答案】

【解析】当时，由可得，令，其中，

则，由，可得，列表如下：

增

极大值

减

如下图所示：

因为在内有且只有一个零点，则，

所以，，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

则当时，，

又因为，，所以，，

因此，在上的最大值与最小值的和为.

3．（2024·广东·高三期末）已知函数，下列说法正确的是（???????）

A．函数在上递增 B．函数无极小值

C．函数只有一个极大值 D．函数在上最大值为3

【答案】C

【解析】因为定义域为，

所以，

所以当或时，当时，

所以在上单调递减，在和上单调递增，

所以在处取得极大值，在处取得极小值，

即，，

又，，故函数在上最大值为；

故选：C

4．（2024·全国单元测试）函数的最小值为______.

【答案】1

【解析】由题设知：定义域为，

∴当时，，此时单调递减