【人教版高中数学精讲精练必修一】5.5 三角恒等变换（精讲）（原卷版）.docx

5.5三角恒等变换（精讲）

两角和与差的余弦、正弦、正切公式

1.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ-----“同名相乘，符号反”

2.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ-----“异名相乘，符号同”

3.tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)---------“上同号，下1异号相乘”

二．二倍角公式

（1）sin2α＝2sinαcosα?12sin2α＝sinα

（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)

三.辅助角公式

asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ).其中tanφ＝eq\f(b,a)，φ所在象限由a和b的符号确定，或者sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).

一．给值求值

(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：

①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；

②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.

(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.

二．给值求角

在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数

若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正弦函数和余弦函数都可；

若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦函数比余弦函数好；

若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好.

三．探究三角函数式化简、证明

(1)化简的要求

①能求出值的应求出值

②尽量使三角函数种数最少

③尽量使项数最少

④尽量使分母不含三角函数

⑤尽量使被开方数不含三角函数.

（2）化简的思路

①对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式

②对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式

③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.

另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.

四．证明三角恒等式的原则与步骤

(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.

(2)证明恒等式的一般步骤：

①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；

②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.

考点一两角和差公式的正用和逆用

【例1】（2023春·山东青岛·高一统考期中）下列等式成立的为（????）

A． B．

C． D．

【一隅三反】

1．（2023春·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）的值为（????）

A． B． C． D．

2．（2023春·甘肃兰州·高一统考期中）等于（????）

A．B．C．D．

3．（2023春·四川成都·高一石室中学校考期中）的值为.

4．（2023秋·高一课时练习）.

5．（20223·山西大同）计算：

A． B． C． D．

6．（2023春·云南玉溪·高一统考期末）（????）

A．1 B． C．3 D．

考点二两角和差公式--给值求值

【例2-1】（2023春·海南·高一统考期末）已知，，，则（????）

A． B． C． D．

【例2-2】（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知角，，则（????）

A． B． C． D．

【例2-3】（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中）已知为锐角，，则（????）

A． B．

C． D．

【一隅三反】

1．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）已知且都是第二象限角，则（????）

A． B． C． D．

2．（2023秋·高一单元测试）已知都是锐角，若，，则（????）

A． B． C． D．

3．（2023春·湖南株洲·高一统考期末）若为锐角，且，则（????）

A． B． C． D．

4．（2023·高一课时练习）若，，，则的值为（????）

A． B．

C． D．

考点三两